题目内容

已知点A是双曲线 $数学公式$ 在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为一边作等边三角形ABC，点C在第四象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为________．

$\text{[math]}$ （x≠0）
分析：设点A的坐标为（a， $\text{[math]}$ ），连接OC，则OC⊥AB，表示出OC，过点C作CD⊥x轴于点D，设出点C坐标，在Rt△OCD中，利用勾股定理可得出x²的值，继而得出y与x的函数关系式．
解答：设A（a， $\text{[math]}$ ），
∵点A与点B关于原点对称，
∴OA=OB，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB⊥OC，OC= $\text{[math]}$ AO，
∵AO= $\text{[math]}$ ，
∴CO= $\text{[math]}$ ，

过点C作CD⊥x轴于点D，
则可得∠AOD=∠OCD（都是∠COD的余角），
设点C的坐标为（x，y），则tan∠AOD=tan∠OCD，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得：y=- $\text{[math]}$ x，
在Rt△COD中，CD²+OD²=OC²，即y²+x²=3a²+ $\text{[math]}$ ，
将y=- $\text{[math]}$ x代入，可得：x²= $\text{[math]}$ ，
故x= $\text{[math]}$ ，y=- $\text{[math]}$ x=- $\text{[math]}$ a，
则xy=-9，
故可得：y=- $\text{[math]}$ （x≠0）．
故答案为：y=- $\text{[math]}$ （x≠0）．
点评：本题考查了反比例函数的综合题，涉及了解直角三角形、等边三角形的性质及勾股定理的知识，综合考察的知识点较多，解答本题的关键是将所学知识融会贯通，注意培养自己解答综合题的能力．