Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，过点A的双曲线的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D，交边BC于点E.（1）填空：双曲线的另一支在第_____象限，k的取值范围是_____；

（2）若点C的坐标为（2，2），当点E在什么位置时？阴影部分面积S最小？

（3）若， =2，求双曲线的解析式.

Answer 1

【答案】(1) 三，k＞0 (2) 当点E在BC的中点时，阴影部分的面积S最小 (3) y=

【解析】【试题分析】

（1）根据双曲线的性质，k>0,双曲线在一、三象限；k<0,在二、四象限.根据题意，该双曲线的另一支一定在第三象限，且k>0;

（2）由题意得：A点的纵坐标为2，E点的横坐标为2，根据反比例函数 ，设A点的坐标为（，2），E点的坐标为（2， ），则阴影部分的面积为

S△ACE+S△OBE=×（2-）×（2-）+×2×= +，当k-2=0，即k=2时， 最小，最小值为；即E点的坐标为（2，1），即E点为BC的中点.

（3）设D点坐标为（a， ），根据中点坐标公式得C点坐标为（2a， ）， 则A点的纵坐标为，代入y=得，x=,得A点坐标为（,），根据=2，得×（2a-）×=2，解得k=,

【试题解析】

（1）三，k＞0；

（2）∵梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，

而点C的坐标为（2，2），

∴A点的纵坐标为2，E点的横坐标为2，B点坐标为（2，0），把y=2代入y=，得，x=,

把x=2代入y=得，y=，

∴A点的坐标为（，2），

E点的坐标为（2， ），

∴=S△ACE+S△OBE，

=×（2-）×（2-）+×2×，

= +，

当k-2=0，即k=2时， 最小，最小值为；

∴E点的坐标为（2，1），即E点为BC的中点，

∴当点E在BC的中点时，阴影部分的面积S最小；

（3）设D点坐标为（a， ），

∵=，

∴2OD=OC，

即D点为OC的中点，

∴C点坐标为（2a， ），

∴A点的纵坐标为，

把y=代入y=得，x=,

∴A点坐标为（,）

∵=2，

∴×（2a-）×=2，

∴k=,

∴双曲线的解析式为y=.