Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于点E，点G是AE中点且∠AOG=30°，则下列结论正确的个数为（ ）

（1）DC=3OG；（2）OG= BC；（3）△OGE是等边三角形；（4）.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】∵EF⊥AC，点G是AE中点，

∴OG=AG=GE=AE，

∵∠AOG=30°，

∴∠OAG=∠AOG=30°，

∠GOE=90°-∠AOG=90°-30°=60°，

∴△OGE是等边三角形，故（3）正确；

设AE=2a，则OE=OG=a，

由勾股定理得，AO= ，

∵O为AC中点，

∴AC=2AO=2 ，

∴BC=AC= ，

在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB==3a，

∵四边形ABCD是矩形，

∴CD=AB=3a，

∴DC=3OG，故（1）正确；

∵OG=a， BC= ，

∴OG≠BC，故（2）错误；

∵S△AOE=a =，

SABCD=3a =3 2，

∴S△AOE=SABCD，故（4）正确；

综上所述，结论正确是（1）（3）（4）共3个，

故选C．