题目内容
（任选做一题）（1）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上的一点．求证：AE•OB=OE•CB；
（2）已知如图，∠BAC=90°，AD⊥BC，AE=EC，ED延长线交AB的延长线于点F．
求证：①△DBF∽△ADF；②
| AB |
| AC |
| DF |
| AF |
分析：（1）根据平行四边形的性质可知AD∥BC，再根据平行线的性质及相似三角形的判定定理可得出△AOE∽△COB，再根据相似三角形的对应边成比例即可解答；
（2）①根据AD⊥BC，可知△ACD是直角三角形，再根据AE=CE可知DE是△ACD斜边的中线，故DE=CE，∠C=∠EDC，再根据对顶角相等可知∠BDF=∠C，再由直角三角形两锐角互余可知∠BAD=∠C，进而可求出△DBF∽△ADF；
②先求出Rt△ABD∽Rt△CAD，根据相似三角形的对应边成比例可知
=
，再由①中所求△DBF∽△ADF可知
=
，通过等量代换即可得出结论．
（2）①根据AD⊥BC，可知△ACD是直角三角形，再根据AE=CE可知DE是△ACD斜边的中线，故DE=CE，∠C=∠EDC，再根据对顶角相等可知∠BDF=∠C，再由直角三角形两锐角互余可知∠BAD=∠C，进而可求出△DBF∽△ADF；
②先求出Rt△ABD∽Rt△CAD，根据相似三角形的对应边成比例可知
| AB |
| AC |
| BD |
| AD |
| BD |
| AD |
| DF |
| AF |
解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠EAO=∠ACB，∠AEO=∠EBC，
∴△AOE∽△COB，
∴
=
，即AE•OB=OE•CB；
（2）①∵AD⊥BC，
∴△ACD是直角三角形，
∵AE=CE，
∴DE是△ACD斜边的中线，
∴DE=CE，∠C=∠EDC，
∴∠BDF=∠C，
∵∠BAD+∠ABD=90°，∠C+∠ABD=90°，
∴∠BAD=∠C，
∵∠F=∠F，
∴△DBF∽△ADF；
②在Rt△ABD与Rt△CAD中，
∵∠BAD+∠ABD=90°，∠C+∠ABD=90°，
∴∠BAD=∠C，
∴Rt△ABD∽Rt△CAD，
∴
=
，
∵由①可知△DBF∽△ADF，
∴
=
，
∴
=
．
∴AD∥BC，∴∠EAO=∠ACB，∠AEO=∠EBC，
∴△AOE∽△COB，
∴
| AE |
| BC |
| OE |
| OB |
（2）①∵AD⊥BC，
∴△ACD是直角三角形，
∵AE=CE，
∴DE是△ACD斜边的中线，
∴DE=CE，∠C=∠EDC，
∴∠BDF=∠C，
∵∠BAD+∠ABD=90°，∠C+∠ABD=90°，
∴∠BAD=∠C，
∵∠F=∠F，
∴△DBF∽△ADF；
②在Rt△ABD与Rt△CAD中，
∵∠BAD+∠ABD=90°，∠C+∠ABD=90°，
∴∠BAD=∠C，
∴Rt△ABD∽Rt△CAD，
∴
| AB |
| AC |
| BD |
| AD |
∵由①可知△DBF∽△ADF，
∴
| BD |
| AD |
| DF |
| AF |
∴
| AB |
| AC |
| DF |
| AF |
点评：本题涉及到平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质，涉及面较广，但难易适中．
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（1）计算并完成表格：
（2）请估计,当n很大时,频率将会接近多少？
（3）假如你去转动该转盘一次,你获得铅笔的概率约是多少？
(4)在该转盘中,表示“铅笔”区域的扇形的圆心角约是多少(精确到1°)
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转动转盘的次数n |
100 |
150 |
200 |
500 |
800 |
1000 |
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落在“铅笔”的次数m |
68 |
111 |
136 |
345 |
564 |
701 |
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落在“铅笔”的频率 |
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(在下面的23、24两题中任选做一题,若两题都答,按23题评分)
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