Question

22、已知△ABC与△ADE是等边三角形，点B、A、D在一条直线上，∠CPN=60°交直线AE与点N；
（1）若点P在线段AB上运动、（不与A、B重合）猜想线段PC、PN的数量关系并证明；
（2）若点P在线段AD上运动、（不与A、D重合），画出图形，猜想线段PC、PN的数量关系；
（3）总结：若点P在直线AB上运动、（不与A、B、D重合），线段PC、PN的数量关系会保持不变吗？

Answer 1

分析：（1）在AC上截取AF=AP，可得△PCF≌△PNA，所以PC=PN；
（2）△PCN为直角三角形，∠CPN=60°，可得PC=2PN；
（3）无论点P在AB上如何移动，都存在△PCF≌△PNA，所以他们的数量关系不变．

解答：解：（1）如图，在AC上截取AF=AP，
∵AP=AF，∠BAC=60°，
∴△APF为等边三角形，
∴PF=AP，
∵∠CPF+∠FPN=60°，∠FPN+∠NPA=60°，
∴∠CPF=∠APN，又∠PAN=∠PFC=120°
∴△PCF≌△PNA，
∴PC=PN；

（2）当P在AD上时，∠CPN的一边PN交AE的延长线于N，此时也有PC=PN
过P作AC的平行线交BC的延长线于F，
∴∠F=∠BCA=60°，∠APF=∠BAC=60°，
∴∠F=∠APF，
∴CF=AP，
∵∠F=∠PAN=60°，∠FCP=∠APN=60°+∠APC，
∴△PCF≌△PNA，
∴PC=PN；

（3）线段PC、PN的数量关系保持不变；
无论点P在AB上哪个点，都有△PCF≌△PNA，
∴PC，PN的数量关系不变．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质及全等三角形的性质，能够利用全等三角形求解线段之间的关系，正确作出辅助线是解答本题的关键．