题目内容
如图，在直角坐标系中，A点的坐标为（0，a），B点的坐标为（b，0），且a、b满足
+|a-2b+2|=0．
（1）求证：∠OAB=∠OBA；
（2）点C为OB的延长线上一点，连接AC，过B作BD⊥AC，连接OD．求证：OD平分∠ADB；
（3）点E，是点A关于x轴的对称点，点F是点B关于y轴的对称点，P为AF的延长线上一动点，G为BA的延长线上一点，连接PG，且满足BG=PG+PF，当P在AF的延长线上运动的过程中，∠PEG的度数是否会发生变化？若不变，请求出它的度数；若改变，请说明理由．
| a+b-4 |
（1）求证：∠OAB=∠OBA；
（2）点C为OB的延长线上一点，连接AC，过B作BD⊥AC，连接OD．求证：OD平分∠ADB；
（3）点E，是点A关于x轴的对称点，点F是点B关于y轴的对称点，P为AF的延长线上一动点，G为BA的延长线上一点，连接PG，且满足BG=PG+PF，当P在AF的延长线上运动的过程中，∠PEG的度数是否会发生变化？若不变，请求出它的度数；若改变，请说明理由．
分析：（1）由条件
+|a-2b+2|=0．可以求出a、b的值，求出OA、OB的长度就可以得出结论；
（2）根据四点共圆的性质可以得出相等的弦所对的圆周角相等而得出结论∠ADO=∠BDO而得出结论；
（3）如图，通过作辅助线连接EF和BE，在BG上截BM=PF，连接ME，利用中垂线的性质可以得出四边形AFBE是正方形，证明△PFE≌△MBE和△PGE≌△MGE，最后利用相等的角的代换而得出∠PEG的值．
| a+b-4 |
（2）根据四点共圆的性质可以得出相等的弦所对的圆周角相等而得出结论∠ADO=∠BDO而得出结论；
（3）如图，通过作辅助线连接EF和BE，在BG上截BM=PF，连接ME，利用中垂线的性质可以得出四边形AFBE是正方形，证明△PFE≌△MBE和△PGE≌△MGE，最后利用相等的角的代换而得出∠PEG的值．
解答：（1）证明：∵a、b满足
+|a-2b+2|=0，
∴a+b=4，
a-2b=-2，
∴a=2，b=2，
∴A点的坐标为（0，2），B点的坐标为（2，0），
∴OA=OB=2，
∴∠OAB=∠OBA；
（2）证明：∵∠AOB=90°∠ADB=90°
∴A、O、B、D四点在同一个圆上，
∵OA=OB，且∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°
∴∠ADO=∠OBA=45°，
∴∠BDO=∠OAB=45°，
∴∠BDO=∠ADO
∴OD平分角ADB；
（3）解：∠PEG=45°不变．
连接EF和BE，在BG上截BM=PF，连接ME，
∵点E，是点A关于x轴的对称点，点F是点B关于y轴的对称点，
∴EF=BE，四边形AFBE是正方形，
∴△PFE≌△MBE，
∴∠MEB=∠PEF，
∵GB∥EF，
∴∠FEG=∠AGE．
∴∠PEG=∠PEF+∠GEF=∠MEB+∠MGE，
∵△PGE≌△MGE，
∴∠PEG=∠GEM，
∴∠GEM=∠MEB+∠MGE，
∵∠GEM+∠MEB+∠MGE=90°，
∴∠GEM=∠MEB+∠MGE=45°，
∴∠PEG=45°
| a+b-4 |
∴a+b=4，
a-2b=-2，
∴a=2，b=2，
∴A点的坐标为（0，2），B点的坐标为（2，0），
∴OA=OB=2，
∴∠OAB=∠OBA；
（2）证明：∵∠AOB=90°∠ADB=90°
∴A、O、B、D四点在同一个圆上，
∵OA=OB，且∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°
∴∠ADO=∠OBA=45°，
∴∠BDO=∠OAB=45°，
∴∠BDO=∠ADO
∴OD平分角ADB；
（3）解：∠PEG=45°不变．
连接EF和BE，在BG上截BM=PF，连接ME，
∵点E，是点A关于x轴的对称点，点F是点B关于y轴的对称点，
∴EF=BE，四边形AFBE是正方形，
∴△PFE≌△MBE，
∴∠MEB=∠PEF，
∵GB∥EF，
∴∠FEG=∠AGE．
∴∠PEG=∠PEF+∠GEF=∠MEB+∠MGE，
∵△PGE≌△MGE，
∴∠PEG=∠GEM，
∴∠GEM=∠MEB+∠MGE，
∵∠GEM+∠MEB+∠MGE=90°，
∴∠GEM=∠MEB+∠MGE=45°，
∴∠PEG=45°
点评：本题是一道一次函数的综合题，此题考查了非负数和为0的运用，圆的性质的运用，全等三角形的运用，平行线的性质，轴对称的性质．
练习册系列答案
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