Question

【题目】问题情境：如图1，，，．求 度数．

小明的思路是：如图2，过 作 ，通过平行线性质，可得 ．

问题迁移：

（1）如图3，，点 在射线 上运动，当点 在 、 两点之间运动时，，． 、 、 之间有何数量关系?请说明理由；

（2）在（1）的条件下，如果点 在 、 两点外侧运动时（点 与点 、 、 三点不重合），请你直接写出 、 、 间的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）∠CPD=∠α+∠β，理由见解析；（2）①当点P在A、M两点之间时，∠CPD=∠β∠α；②当点P在B、O两点之间时，∠CPD=∠α∠β

【解析】

（1）过点P作PE∥AD交CD于点E，根据题意得出AD∥PE∥BC，从而利用平行线性质可知=∠DPE，=∠CPE，据此进一步证明即可；

（2）根据题意分当点P在A、M两点之间时以及当点P在B、O两点之间时两种情况逐一分析讨论即可.

（1）∠CPD=，理由如下：

如图3，过点P作PE∥AD交CD于点E，

∵AD∥BC，PE∥AD，

∴AD∥PE∥BC，

∴=∠DPE，=∠CPE，

∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=；

（2）①当点P在A、M两点之间时，∠CPD=，理由如下：

如图4，过点P作PE∥AD交CD于点E，

∵AD∥BC，PE∥AD，

∴AD∥PE∥BC，

∴=∠EPD，=∠CPE，

∴∠CPD=∠CPE∠EPD=；

②当点P在B、O两点之间时，∠CPD=，理由如下：

如图5，过点P作PE∥AD交CD于点E，

∵AD∥BC，PE∥AD，

∴AD∥PE∥BC，

∴=∠DPE，=∠CPE，

∴∠CPD=∠DPE∠CPE=，

综上所述，当点P在A、M两点之间时，∠CPD=∠β∠α；当点P在B、O两点之间时，∠CPD=∠α∠β.