题目内容

如图四边形ABCD是菱形，且∠ABC=60，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，则下列五个结论中正确的是
①若菱形ABCD的边长为1，则AM+CM的最小值1；
②△AMB≌△ENB；
③S_{四边形AMBE}=S_{四边形ADCM}；④连接AN，则AN⊥BE；
⑤当AM+BM+CM的最小值为2 $数学公式$ 时，菱形ABCD的边长为2．

A.
①②③
B.
②④⑤
C.
①②⑤
D.
②③⑤

C
分析：（1）连接AC，根据“两点之间线段最短”，可得，当M点落在BD的中点时，AM+CM的值最小；
（2）由题意得MB=NB，∠ABN=30°，所以∠EBN=30°，容易证出△AMB≌△ENB；
（3）连接AC，可以得到S_△ABE=S_△ADC，S_△AMB≠S_△AMC，从而可以得出结论．
（4）假设AN⊥BE，根据等腰三角形的性质及垂直平分线的性质得出EN=BN，从而得出结论．
（5）根据“两点之间线段最短”，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长，（如图）作辅助线，过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，由题意求出∠EBF=60°，设菱形的边长为x，在Rt△EFC中，根据勾股定理求得菱形的边长．
解答：①连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，BD⊥AC，AO=BO
∴点A，点C关于直线BD对称，
∴M点与O点重合时AM+CM的值最小为AC的值
∵∠ABC=60，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∵AB=1，
∴AC=1，
即AM+CM的值最小为1，故本答案正确．
②∵△ABE是等边三角形，
∴BA=BE，∠ABE=60°．
∵∠MBN=60°，
∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN．
即∠MBA=∠NBE．
又∵MB=NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS），故本答案正确．
③∵S_△ABE+S_△ABM=S_{四边形AMBE}
S_△ACD+S_△AMC=S_{四边形ADCM}，且S_△AMB≠S_△AMC，
∴S_△ABE+S_△ABM≠S_△ACD+S_△AMC，
∴S_{四边形AMBE}≠S_{四边形ADCM}，故本答案错误．
④假设AN⊥BE，且AE=AB，
∴AN是BE的垂直平分线，
∴EN=BN=BM=MN，
∴M点与O点重合，
∵条件没有确定M点与O点重合，故本答案错误．
⑤如图，连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，
∴AM=EN，
∵∠MBN=60°，MB=NB，
∴△BMN是等边三角形．
∴BM=MN．
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．（10分）
根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．
过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF=180°-120°=60°，设菱形的边长为x，
∴BF= $\text{[math]}$ x，EF= $\text{[math]}$ x，在Rt△EFC中，
∵EF²+FC²=EC²，
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得x=2，故本答案正确．
综上所述，正确的答案是：①②⑤，
故选C．