Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知，，点，在轴上方，且四边形的面积为32，

（1）若四边形是菱形，求点的坐标．

（2）若四边形是平行四边形，如图1，点，分别为，的中点，且，求的值．

（3）若四边形是矩形，如图2，点为对角线上的动点，为边上的动点，求的最小值．

Answer 1

【答案】(1)(-4,4);(2);(3)

【解析】

(1)作DH⊥AB,先求出AB,根据菱形性质得AD=AB=8,再根据勾股定理求出AH,再求OH;

(2)延长EF与x轴相交于G,作EP⊥AB,根据平行线性质证△ECF≌△GBF(AAS),得BG=EC=4,EF=FG,AG=AB+BG=12,EG=2EF,根据勾股定理得:(AE+EG)2-2AEEG=AG2,根据三角形面积公式得:所以(AE+EG)2-2×48=122;

(3)作点B关于AC的对称点,作,交AC于点M,此时BM+MN最小,连接;根据矩形性质和轴对称性质得:AB=8,BC=,AC=,求得=,=AB=8,,设AN=x,则BN=8-x,由勾股定理可得:,可进一步求出.

(1)作DH⊥AB

因为,,

所以AB=4-(-4)=8,

因为四边形ABCD是菱形,

所以AD=AB=8,

因为四边形的面积为32,

所以DH=32÷8=4

所以根据勾股定理可得:AH=

所以OH=AH-OA=-4

所以点D的坐标是(-4,4)

(2)延长EF与x轴相交于G,作EP⊥AB

因为四边形ABCD是平行四边形,

所以DC=AB=8,DC//AB

所以∠C=∠CBG,∠CEF=∠BGF,

因为E,F分别是CD,AB的中点,

所以DE=CE=4,CF=BF,

所以△ECF≌△GBF(AAS)

所以BG=EC=4,EF=FG

所以AG=AB+BG=12,EG=2EF,

又因为AF⊥EF

所以AE2+EG2=AG2

所以(AE+EG)2-2AEEG=AG2

由(1)知EP=DH=4

所以根据三角形面积公式得:

所以

所以(AE+EG)2-2×48=122

所以

所以AE+2EF=

(3)作点B关于AC的对称点,作,交AC于点M,此时BM+MN最小;连接.

因为四边形ABCD是矩形,

所以由已知可得:AB=8,BC=

所以AC=

所以在三角形ABC中,AC上的高是:

因为AC是的对称轴,

所以=,=AB=8,

设AN=x,则BN=8-x,由勾股定理可得:

解得x=,

所以

所以BM+MN=

即BM+MN的最小值是.