Question

如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，AC分别交BE，DF于点M，N．给出下列结论：
①△ABM≌△CDN；②AM=

1

3

AC；③DN=2NF；④S_{四边形BFNM}=

1

4

S_{平行四边形ABCD}．
其中正确的结论有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：先结合平行四边形性质，根据ASA得出△ABM≌△CDN，从而得出DN=BM，AM=CN；再由三角形中位线定理、相似三角形的对应边成比例得出CN=MN，BM=DN=2NF；由
S_?BFDE=

1

2

S_?ABCD，S_{四边形BFNM}=

1

2

S_?BFDE，易证得S_{四边形BFNM}=

1

4

S_{平行四边形ABCD}．

解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，且AD∥BC AB∥CD，∠BAE=∠DCF，
∵E、F分别是边AD、BC的中点，
∴AE=DE=BF=CF，
在△ABE和△CDF中，

AE=CF ∠BAE=∠DCF AB=CD

，
∴△ABE≌△CDF（SAS），故①正确；

∴AM=CN，BM=DN，∠AMB=∠DNC=∠FNA，
∴NF∥BM，
∵F为BC的中点，
∴NF为三角形BCM的中位线，
∴BM=DN=2NF，CN=MN=AM，
∴AM=

1

3

AC，DN=2NF，
故②③正确；

∵S_?BFDE=

1

2

S_?ABCD，S_{四边形BFNM}=

1

2

S_?BFDE，
∴S_{四边形BFNM}=

1

4

S_{平行四边形ABCD}．
故④正确；
综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．
故选D．

点评：本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质．注意，三角形中位线定理的应用．