Question

如图，△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C．
（1）求证：DC=BD+AB；
（2）若设CD=a、BD=b、AB=c，试说明方程x²﹣ax+bc=0有两个不相等的实数根；
（3）若方程x²﹣ax+bc=0的一根是另一根的2倍，试判断△ABC的形状．

Answer 1

（1）证明：在BC上取点E，使BD=DE，
∵AD⊥BC，
∴AB=AE，
∴∠AEB=∠ABC=2∠C，
∵∠C=∠EAC
∴EC=EA=AB，
∴CD=DE+EC=BD+AB                                  
（2）解：由（1）得：
∵a²﹣4bc=（b+c）²﹣4bc=（b﹣c）²又c＞b，即c≠b，
∴（b﹣c）²＞0，
∴方程x²﹣ax+bc=0有两个不相等的实数根．  
（3）解：设方程的两根为k，2k，代入得k²﹣ak+bc=0
①及4k²﹣2ak+bc=0②，
由②﹣4×①得k=，代入①得（）²﹣a+bc=0，
化简得9bc=2a²，又∵a²=（b+c）²代入得2b²﹣5bc+2c²=0，
（2b﹣c）（b﹣2c）=0，
∵b＜c，
∴c=2b
∵AD⊥BC，
∴∠B=60°，
∴∠C=30°，
∴∠BAC=90°，∴△ABC为直角三角形．