题目内容
（2012•北塘区二模）聪聪的爸爸是供电公司的线路设计师，公司准备在输电主干线l上连接一个分支线路，为新建的两个小区M、N同时输电．聪聪的爸爸设想了两种情况：①当小区M、N分别位于主干线l的两侧时，如图（一）；②当小区M、N分别位于主干线l的同侧时，如图（二）；
（1）如果是图（一）的情况，请你帮助聪聪的爸爸设计，分支线路连接点P在什么地方时分支线路最短，并在图（一）中标出点P的位置．（保留作图痕迹）
（2）如果是图二的情况，假设两小区相距2公里，M、N小区分别到主干线l的距离分别为2公里和1公里，请你帮助聪聪的爸爸计算一下分支线路最短的长度是
（3）经过实地考察测量，情况比设想的复杂．如图（三）所示，此段的主干线l在一段河堤AB上，河堤AB与CD平行，河宽0.5公里，小区M到河堤AB的距离为2公里，小区N到河堤CD的距离为1公里，两小区M、N的连线与主干线l所夹锐角恰好为45°，并且根据架线要求，当线路通过河道时，要求线路与河堤垂直．
①请你帮助聪聪的爸爸设计出最短的分支线路，并画出示意图．（要求：标注字母，保留痕迹，用字母说明具体线路）
②根据所画示意图计算最短线路有多长？（要求：写出计算过程，结果保留根号）
（1）如果是图（一）的情况，请你帮助聪聪的爸爸设计，分支线路连接点P在什么地方时分支线路最短，并在图（一）中标出点P的位置．（保留作图痕迹）
（2）如果是图二的情况，假设两小区相距2公里，M、N小区分别到主干线l的距离分别为2公里和1公里，请你帮助聪聪的爸爸计算一下分支线路最短的长度是
2
| 3 |
2
公里．（结果保留根号）| 3 |
（3）经过实地考察测量，情况比设想的复杂．如图（三）所示，此段的主干线l在一段河堤AB上，河堤AB与CD平行，河宽0.5公里，小区M到河堤AB的距离为2公里，小区N到河堤CD的距离为1公里，两小区M、N的连线与主干线l所夹锐角恰好为45°，并且根据架线要求，当线路通过河道时，要求线路与河堤垂直．
①请你帮助聪聪的爸爸设计出最短的分支线路，并画出示意图．（要求：标注字母，保留痕迹，用字母说明具体线路）
②根据所画示意图计算最短线路有多长？（要求：写出计算过程，结果保留根号）
分析：（1）根据两点之间线段最短，连接MN，与l的交点就是P点；
（2）作N关于l的对称点N′，连接MN′，MN′就是最短路线，作MO⊥L，并延长到C，使OC=1，过N作NF⊥MO，利用勾股定理计算出•NF的长，再利用勾股定理计算出MN′的长即可；
（3）①如图（三）所示：利用平行四边形的性质得出，线路ME-EF-FN为最短的线路；
②首先过点P作PO⊥l，过点N作NO∥l相交于O，连接MN，利用勾股定理求出PN的长，即可得出ME+EF+FN的长．
（2）作N关于l的对称点N′，连接MN′，MN′就是最短路线，作MO⊥L，并延长到C，使OC=1，过N作NF⊥MO，利用勾股定理计算出•NF的长，再利用勾股定理计算出MN′的长即可；
（3）①如图（三）所示：利用平行四边形的性质得出，线路ME-EF-FN为最短的线路；
②首先过点P作PO⊥l，过点N作NO∥l相交于O，连接MN，利用勾股定理求出PN的长，即可得出ME+EF+FN的长．
解答：
解：（1）如图（一）所示：
（2）如图（二），作N关于l的对称点N′，连接MN′，MN′就是最短路线，
作MO⊥L，并延长到C，使OC=1，过N作NF⊥MO，由题意得：MO=2，NO=N′O=2，MN=2，
则MF=2-1=1，
N′C=FN=
=
，
N′M=
=
=2
（公里）；
（3）①如图（三）所示：线路ME-EF-FN为最短的线路；
②过点P作PO⊥l，过点N作NO∥l相交于O，连接MN．
在Rt△MON中，由作图知OM=3.5km，∠N=45°，
∴NO=3.5km，
∵OP=3km，
∴在Rt△PON中PN=
=
（km），
∴ME+EF+FN=
（km）．
解：（1）如图（一）所示：（2）如图（二），作N关于l的对称点N′，连接MN′，MN′就是最短路线，
作MO⊥L，并延长到C，使OC=1，过N作NF⊥MO，由题意得：MO=2，NO=N′O=2，MN=2，
则MF=2-1=1，
N′C=FN=
| 22-12 |
| 3 |
N′M=
| MC2+N′C2 |
| 9+3 |
| 3 |
（3）①如图（三）所示：线路ME-EF-FN为最短的线路；
②过点P作PO⊥l，过点N作NO∥l相交于O，连接MN．
在Rt△MON中，由作图知OM=3.5km，∠N=45°，
∴NO=3.5km，
∵OP=3km，
∴在Rt△PON中PN=
| OP2+ON2 |
| ||
| 2 |
∴ME+EF+FN=
| ||
| 2 |
点评：此题主要考查了应用设计与作图以及勾股定理等知识，根据平行四边形的性质得出最短路径是解题关键．
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