Question

如图，抛物线y=ax²+b与x轴交于点A、B，且A点的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，1）．

（1）求抛物线的解析式，并求出点B坐标；

（2）过点B作BD∥CA交抛物线于点D，连接BC、CA、AD，求四边形ABCD的周长；（结果保留根号）

（3）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，过点P作PE垂直于x轴，垂足为点E，使以B、P、E为顶点的三角形与△CBD相似？若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：

二次函数综合题．

分析：

（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，点B坐标可由对称性质得到，或令y=0，由解析式得到；

（2）关键是求出点D的坐标，然后利用勾股定理分别求出四边形ABCD四个边的长度；

（3）本问为存在型问题．可以先假设存在，然后按照题意条件求点P的坐标，如果能求出则点P存在，否则不存在．注意三角形相似有两种情形，需要分类讨论．

解答：

解：（1）∵点A（1，0）和点C（0，1）在抛物线y=ax²+b上，

∴，解得：a=﹣1，b=1，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x²+1，

抛物线的对称轴为y轴，则点B与点A（1，0）关于y轴对称，∴B（﹣1，0）．

（2）设过点A（1，0），C（0，1）的直线解析式为y=kx+b，可得：

，解得k=﹣1，b=1，∴y=﹣x+1．

∵BD∥CA，∴可设直线BD的解析式为y=﹣x+n，

∵点B（﹣1，0）在直线BD上，∴0=1+n，得n=﹣1，

∴直线BD的解析式为：y=﹣x﹣1．

将y=﹣x﹣1代入抛物线的解析式，得：﹣x﹣1=﹣x²+1，解得：x₁=2，x₂=﹣1，

∵B点横坐标为﹣1，则D点横坐标为2，

D点纵坐标为y=﹣2﹣1=﹣3，∴D点坐标为（2，﹣3）．

如答图①所示，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN=3，AN=1，BN=3，

在Rt△BDN中，BN=DN=3，由勾股定理得：BD=；

在Rt△ADN中，DN=3，AN=1，由勾股定理得：AD=；

又OA=OB=OC=1，OC⊥AB，由勾股定理得：AC=BC=；

∴四边形ABCD的周长为：AC+BC+BD+AD=+++=+．

（3）假设存在这样的点P，则△BPE与△CBD相似有两种情形：

（I）若△BPE∽△BDC，如答图②所示，

则有，即，∴PE=3BE．

设OE=m（m＞0），则E（﹣m，0），BE=1﹣m，PE=3BE=3﹣3m，

∴点P的坐标为（﹣m，3﹣3m）．

∵点P在抛物线y=﹣x²+1上，

∴3﹣3m=﹣（﹣m）²+1，解得m=1或m=2，

当m=1时，点E与点B重合，故舍去；当m=2时，点E在OB左侧，点P在x轴下方，不符合题意，故舍去．

因此，此种情况不存在；

（II）若△EBP∽△BDC，如答图③所示，

则有，即，∴BE=3PE．

设OE=m（m＞0），则E（m，0），BE=1+m，PE=BE=（1+m）=+m，

∴点P的坐标为（m， +m）．

∵点P在抛物线y=﹣x²+1上，

∴+m=﹣（m）²+1，解得m=﹣1或m=，

∵m＞0，故m=1舍去，∴m=，

点P的纵坐标为： +m=+×=，

∴点P的坐标为（，）．

综上所述，存在点P，使以B、P、E为顶点的三角形与△CBD相似，点P的坐标为（，）．

点评：

本题是代数几何综合题，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判定与性质、勾股定理等重要知识点．第（2）问的解题要点是求出点D的坐标，第（3）问的解题要点是分类讨论．