题目内容
如图，△ABC是锐角三角形，正方形DEFG的一边在BC上，其余两个定点在AB，AC上，记△ABC的面积为S1，正方形的面积为S2，则（ ）| A、S1≥2S2 | B、S1≤2S2 | C、S1＞2S2 | D、S1＜2S2 |
分析：根据题意，易得△AGF∽△ABC，△BDG∽△BMA，再将△ABC的面积S1表示出来，再将正方形DEFG的面积表示出来，利用S1-2S2进行比较．
解答：
解：过点A作BC上的高AM交BC于点M，交GF于点N，
S1=
BC×AM，S2=GF×GD=GF2
∵GF∥BC，DG∥AM
∴△AGF∽△ABC，△BDG∽△BMA，
∴
=
，
=
=
，GN=DM，BD+DM=BM
∴
+
=
+
=
=1
∴GF×（AM+BC）=AM×BC，
∴GF=
∴2×S2=2×（
）2
∴S1-2S2=
-2（
）2=
（1-
）
=
×
≥0
∴S1≥2S2．故选A．
解：过点A作BC上的高AM交BC于点M，交GF于点N，S1=
| 1 |
| 2 |
∵GF∥BC，DG∥AM
∴△AGF∽△ABC，△BDG∽△BMA，
∴
| BD |
| BM |
| DG |
| AM |
| GF |
| BC |
| AN |
| AM |
| GN |
| BM |
∴
| DG |
| AM |
| GF |
| BC |
| BD |
| BM |
| DM |
| BM |
| BD+DM |
| BM |
∴GF×（AM+BC）=AM×BC，
∴GF=
| AM×BC |
| AM+BC |
∴2×S2=2×（
| AM×BC |
| AM+BC |
∴S1-2S2=
| BC×AM |
| 2 |
| AM×BC |
| AM+BC |
| BC×AM |
| 2 |
| 4AM×BC |
| (AM+BC)2 |
=
| AM×BC |
| 2 |
| (AM-BC)2 |
| (AM+BC)2 |
∴S1≥2S2．故选A．
点评：本题综合考查相似三角形和正方形的性质．
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