Question

已知，如图，抛物线=ax²-2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A，B，点A的坐标为（4，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点M在抛物线上，且△ABC与△ABM的面积相等，直接写出点M的坐标；
（3）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ，当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据A，C两点坐标，利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）根据△ABC与△ABM的面积相等，得出M的纵坐标为：±4，再把y=4和y=-4时分别代入求出对应的x的值，进而得出点M的坐标；
（3）设BQ=x，因为EQ∥AC，所以△BEQ∽△BCA，再利用相似三角形的性质得出S_△CQE=x×4-x²=-x²+2x，再利用二次函数的性质进而点Q的坐标．
解答：解：（1）∵点C（0，4），
∴c=4，
∵点A的坐标为（4，0），
∴0=16a-8a+4，
∴a=-，
∴y=-x²+x+4；

（2）∵△ABC与△ABM的面积相等，
C点坐标为：（0，4），
∴M的纵坐标为：±4，
∴4=-x²+x+4；
解得：x ₁=0，x ₂=2，
∴M点的坐标为：（2，4），
当-4=-x²+x+4；
解得：x ₁=1+，x ₂=1-，
∴M点的坐标为：（1+，-4），或（1-，-4），
∴综上所述：M点的坐标为：（2，4）、（1+，-4）或（1-，-4）；

（3）∵B（-2，0，），AB=6，
∴S_△ABC=×6×4=12，
设BQ=x，
∵EQ∥AC，
∴△BEQ∽△BCA，
∴（）²==（）²，
∴S_△BEQ×12=x²，
∴S_△CQE=x×4-x²=-x²+2x，
当x=-=3时，S_△CQE面积最大，
∴Q点坐标为（1，0）．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用和相似三角形的性质和等腰三角形的性质等知识，根据已知得出（）²==（）²，以及分类讨论得出M点的坐标是解题关键．