Question

如图，在直角坐标系中，抛物线y=x²-x-2过A、B、C三点，在对称轴上存在点P，以P、A、C为顶
点三角形为直角三角形．则点P的坐标是

（

1

2

，

3

4

）或（

1

2

，-

7

4

）或（

1

2

，-

1

2

）或（

1

2

，-

3

2

）

．

Answer 1

分析：根据抛物线解析式求出对称轴为x=

1

2

，令y=0，解方程求出点A、B的坐标，从而得到OA、OB的长度，令x=0，求出点C的坐标，从而得到OC的长度，然后分①∠PAC=90°时，设PA与y轴的交点为D，根据相似三角形对应边成比例列式求出OD的长度，从而得到点D的坐标，利用待定系数法求出直线AP的解析式，然后根据点P在对称轴上求出即可，②∠PCA=90°时，设CP的延长线与x轴相交于点D，根据相似三角形对应边成比例列式求出OD的长度，从而得到点D的坐标，利用待定系数法求出直线CP的解析式，然后根据点P在对称轴上求出即可，③∠APC=90°时，设抛物线对称轴与x轴相交于点D，过点C作CE⊥PD于点E，表示出AD的长度，设PD=a，表示出PE，CE，然后利用△APD和△PCE相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出a，即可得到点P的坐标．

解答：解：∵抛物线y=x²-x-2=（x-

1

2

）²-

9

4

，
∴抛物线的对称轴为直线x=

1

2

，
令y=0，则x²-x-2=0，
解得x₁=-1，x₂=2，
∴点A（-1，0），B（2，0），
∴OA=1，OB=2，
令x=0，则y=-2，
∴点C（0，-2），
∴OC=2，
①∠PAC=90°时，如图1，设PA与y轴的交点为D，
∵∠DAO+∠CAO=90°，∠CAO+∠ACO=90°，
∴∠DAO=∠ACO，
又∵∠AOC=∠DOA=90°，
∴△ACO∽△DAO，
∴

OA

OD

=

OC

OA

，
即

1

OD

=

2

1

，
解得OD=

1

2

，
所以，点D（0，

1

2

），
设直线AP解析式为y=kx+b，
则

-k+b=0 b= 1 2

，
解得

k= 1 2 b= 1 2

，
所以，直线AP的解析式为y=

1

2

x+

1

2

，
当x=

1

2

时，y=

1

2

×

1

2

+

1

2

=

3

4

，
所以，点P的坐标为（

1

2

，

3

4

）；
②∠PCA=90°时，如图2，设CP的延长线与x轴相交于点D，
同①可求△ACO∽△CDO，
所以，

OA

OC

=

OC

OD

，
即

1

2

=

2

OD

，
解得OD=4，
所以，点D（4，0），
设直线CP的解析式为y=mx+n，
则

n=-2 4m+n=0

，
解得

m= 1 2 n=-2

，
所以，直线CP的解析式为y=

1

2

x-2，
当x=

1

2

时，y=

1

2

×

1

2

-2=-

7

4

，
所以，点P的坐标为（

1

2

，-

7

4

）；
③∠APC=90°时，如图3，设抛物线对称轴与x轴相交于点D，过点C作CE⊥PD于点E，
∵抛物线对称轴为直线x=

1

2

，
∴AD=

1

2

-（-1）=

3

2

，CE=

1

2

，
设PD=a，则PE=PE-PD=OC-PD=2-a，
∵∠PAD+∠APD=90°，∠APD+∠CPE=90°，
∴∠PAD=∠CPE，
又∵∠ADP=∠PEC=90°，
∴△APD∽△PCE，
∴

AD

PE

=

PD

CE

，
即

3 2

2-a

=

a

1 2

，
整理得，4a²-8a+3=0，
解得a₁=

1

2

，a₂=

3

2

，
所以，点P的坐标为（

1

2

，-

1

2

）或（

1

2

，-

3

2

），
综上所述，点P的坐标为（

1

2

，

3

4

）或（

1

2

，-

7

4

）或（

1

2

，-

1

2

）或（

1

2

，-

3

2

）．
故答案为：（

1

2

，

3

4

）或（

1

2

，-

7

4

）或（

1

2

，-

1

2

）或（

1

2

，-

3

2

）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线对称轴的求解，抛物线与坐标轴的交点的求解，相似三角形的判定与性质，待定系数法求直线解析式，综合性较强，但难度不大，注意分情况讨论求解即可．