Question

若关于x的一元二次方程x²-2（2-k）x+k²+12=0有实数根α、β．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设t=

α+β

k

，求t的最小值．

Answer 1

分析：（1）由于一元二次方程存在两实根，令△≥0求得k的取值范围；
（2）将α+β换为k的表达式，根据k的取值范围得出t的取值范围，求得最小值．

解答：解：（1）∵一元二次方程x²-2（2-k）x+k²+12=0有实数根a，β，
∴△≥0，
即4（2-k）²-4（k²+12）≥0，
4（4-4k+k²）-4k²-48≥0，
16-16k-48≥0，即16k≤-32，
解得k≤-2；

（2）由根与系数的关系得：a+β=-[-2（2-k）]=4-2k，
∴t=

a+β

k

=

4-2k

k

=

4

k

-2，
∵k≤-2，
∴-2≤

4

k

＜0，
∴-4≤

4

k

-2＜-2，
即t的最小值为-4．

点评：本题考查了根与系数的关系及根的判别式，难度适中，关键是掌握两根之和、两根之积与系数的关系．