题目内容

如图，已知AB是⊙O的弦，C是⊙O上的一个动点，连接AC、BC，∠C=60°，⊙O的半径为2，则△ABC面积的最大值是

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

A
分析：过C作CM⊥AB于M，要使△ACB的面积最大，只要CM取最大值即可，画出CM，求出等边三角形ABC，求出AB和CM，关键三角形的面积公式求出即可．
解答：

过C作CM⊥AB于M，
∵弦AB已确定，
∴要使△ACB的面积最大，只要CM取最大值即可，
如图所示，当CM过圆心O时，CM最大，
∵CM⊥AB，CM过O，
∴AM=BM（垂径定理），
∴AC=BC，
∵∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形，
设AB=BC=AC=a，
则AM=BM= $\text{[math]}$ a，由勾股定理得：CM= $\text{[math]}$ a，
在Rt△OBM中，OB=2，OM= $\text{[math]}$ a-2，bm= $\text{[math]}$ a，由勾股定理得：（ $\text{[math]}$ a-2）²+（ $\text{[math]}$ a）²=2²，
a=2 $\text{[math]}$ ，
即AB=2 $\text{[math]}$ ，CM=3，
则△ABC的面积是 $\text{[math]}$ ×AB×CM= $\text{[math]}$ ×2 $\text{[math]}$ ×3=3 $\text{[math]}$ ，
故选A．
点评：本题考查了等边三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，垂径定理等等知识点的综合运用．