Question

如图，在△CAB和△EAD中，∠CAE=∠BAD，BC=DE．
（1）请你选择以下条件：①AB=AD；②∠C=∠E；③∠B=∠D；④∠CAB=∠EAD中的一个条件，使得△CAB≌△EAD，并说明理由．（只要选一种即可）
（2）在（1）的前提下，若AB=

12

x-2

，BC=2x-y+7，AC=（y-6）²，AD=

72

x2-4

，DE=

7

2

x-y+1，AE=4，请解决以下问题：
①分别求出x，y的值；
②化简：

1

xy

+

1

(x+4)(y+4)

+

1

(x+8)(y+8)

+

1

(x+12)(y+12)

+…+

1

(x+4n)(y+4n)

．
（n为正整数）

Answer 1

分析：（1）可以选择②，然后根据已知条件求出∠CAB=∠EAD，再利用AAS定理从而证得△CAB≌△EAD；
（2）根据①可得AB=AD，即

12

x-2

=

72

x2-4

，然后解出x的值，利用此方法依次求出BC=DE或AC=AE，从而解出x的值，再由三角形三边关系判断是否合题意，最后得出正确答案，x=4，y=8．②把x、y的值代入方程，然后展开化简即可．

解答：解：（1）可以选择②∠C=∠E或③∠B=∠D，中的一种．
∵在△CAB和△EAD中，∠CAE=∠BAD，BC=DE，
∴∠CAB=∠EAD，
又∵∠C=∠E，
∴△CAB≌△EAD（利用“AAS”）

（2）①由（1）得AB=AD，

12

x-2

=

72

x2-4

，
解得x=4，
经检验x=4是原方程的根，所以x=4；
或（BC=DE）2x-y+7=

7

2

x-y+1解得x=4；
或（AC=AE）由（y-6）²=4，解得y=8或4；
当x=4，y=8时，AB=AD=6，BC=DE=7，AC=AE=4；
当x=4，y=4时，AB=AD=6，BC=DE=11，AC=AE=4，此时三角形不能构成，因此不合题意．
所以x=4，y=8．
②当x=4，y=8时，原式=

1

4×8

+

1

8×12

+

1

12×16

+

1

16×20

+…+

1

(4n+4)(4n+8)

，
=

1

16

[

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

(n+1)(n+2)

]
=

1

16

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

）
=

1

16

（1-

1

n+2

）=

n+1

16n+32

．

点评：本题考查三角形全等的判定方法、有理数的混合运算、解分式方程以及三角形三边关系；在判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．