Question

22.如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，

   交BC于点F．

  ⑴求证：△ABF≌△ECF;

  ⑵若∠AFC=2∠D，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．

 

Answer 1

证明：⑴∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD,AB=CD．∴∠ABF=∠ECF.

∵EC=DC, ∴AB=EC．                                       

在△ABF和△ECF中，∵∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC，

∴△ABF≌△ECF．                                            

（2）解法一：∵AB=EC ，AB∥EC，

∴四边形ABEC是平行四边形．∴AF=EF， BF=CF．           

∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D，

又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠ABC．

∵∠AFC=∠ABF+∠BAF，∴∠ABF=∠BAF．∴FA=FB．

∴FA=FE=FB=FC, ∴AE=BC．∴□ABEC是矩形．                 

解法二：∵AB=EC ，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D=∠BCE．

又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠BCE，

∵∠AFC=∠FCE+∠FEC，∴∠FCE=∠FEC．∴∠D=∠FEC．∴AE=AD．

又∵CE=DC，∴AC⊥DE．即∠ACE=90°．

∴□ABEC是矩形．