Question

在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，O为AB上一点，AO=m，⊙O的半径r=

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2

，问m在什么范围内取值时，AC与圆：
（1）相离；
（2）相切；
（3）相交．

Answer 1

分析：根据题意画出图形，过O作OD⊥AC，可得出OD与BC平行，利用两直线平行同位角相等得到∠AOD为30°，利用锐角三角函数定义表示出OD，
（1）若圆O与AC相离，则有OD大于r，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围；
（2）若圆O与AC相切，则有OD=r，求出m的值即可；
（3）若圆O与AC相交，则有OD小于r，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围．

解答：解：根据题意画出图形，过O作OD⊥AC，
∴OD∥BC，
∴∠AOD=∠B=30°，
在Rt△AOD中，OA=m，∠AOD=30°，
∴OD=OAcos30°=

3

2

m，
（1）若圆O与AC相离，则有OD＞r，即

3

2

m＞

1

2

，
解得：m＞

3

3

，
则当m＞

3

3

时，圆O与AC相离；
（2）若圆O与AC相切，则有OD=r，即

3

2

m=

1

2

，
解得：m=

3

3

，
则当m=

3

3

时，圆O与AC相切；
（3）若圆O与AC相交，则有0＜OD＜r，即0＜

3

2

m＜

1

2

，
解得：0＜m＜

3

3

，
则当0＜m＜

3

3

时，圆O与AC相交．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，直线与圆的位置关系由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来判断．