题目内容

求作?ABCD，使对角线AC=4cm，BD=3cm，且两条对角线相交所成的一个角为60°．（保留痕迹，不写作法）

解：如图，用直尺作线段AC=4cm，
分别以点A和点C为圆心，以任意长为半径画弧，交点有两个，连接两个交点，与AC交于点O，即点O为AC的中点；
再分别以点O和点C为圆心，以OC长为半径画弧，两弧交点为M，连接OM，则∠MOC=60°；
用圆规在直线OM上截取OB=OD= $\text{[math]}$ ，顺次连接A、B、C、D，四边形ABCD即要画的图形．
分析：先作线段AC=4cm，利用圆规找到AC的中点O，再分别以点O和点C为圆心，以OC长为半径画弧，两弧交点为M，连接OM，则∠MOC=60°，用圆规在OM直线上截取OB=OD= $\text{[math]}$ ，问题可求．
点评：本题的解答关键是会熟练掌握尺规作图，作图特点是不去度量．

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九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践--应用--探究的过程：
（1）实践：他们对一条公路上横截面为拋物线的单向双车道的隧道（如图①）进行测量，测得一隧道的路面宽为10m，隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图，建立了如图②所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式．
（2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m．为了确保安全，问该隧道能否让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？
（3）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述拋物线模型，提出了以下两个问题，请予解答：
I．如图③，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在拋物线上，顶点A、B落在x轴上．设矩形ABCD的周长为l求l的最大值．
II•如图④，过原点作一条y=x的直线OM，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P 为直线0M上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．问在直线OM上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

（2013•河北）已知：线段AB，BC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．
以下是甲、乙两同学的作业：
甲：
1．以点C为圆心，AB长为半径画弧；
2．以点A为圆心，BC长为半径画弧；
3．两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求（如图1）．
乙：
1．连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；
2．连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD=MB，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求（如图2）．
对于两人的作业，下列说法正确的是（　　）

A．两人都对

B．两人都不对

C．甲对，乙不对

D．甲不对，乙对

（2013•绍兴）若一个矩形的一边是另一边的两倍，则称这个矩形为方形，如图1，矩形ABCD中，BC=2AB，则称ABCD为方形．

（1）设a，b是方形的一组邻边长，写出a，b的值（一组即可）．
（2）在△ABC中，将AB，AC分别五等分，连结两边对应的等分点，以这些连结线为一边作矩形，使这些矩形的边B₁C₁，B₂C₂，B₃C₃，B₄C₄的对边分别在B₂C₂，B₃C₃，B₄C₄，BC上，如图2所示．
①若BC=25，BC边上的高为20，判断以B₁C₁为一边的矩形是不是方形？为什么？
②若以B₃C₃为一边的矩形为方形，求BC与BC边上的高之比．

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①如图，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在抛物线上，顶点A、B落在x轴上，设矩形ABCD的周长为为l，求l的最大值
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