Question

如图，已知⊙O的弦AB垂直于直径CD，垂足为F，点E在AB上，且EA=EC.

　　(1)求证：AC²=AE?AB；

　　(2)延长EC到点P，连结PB，若PB=PE，试判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由.

Answer 1

(1)连结BC.

　　∵AB⊥CD，CD为⊙O的直径，

　　∴BC=AC.  　　∴∠1=∠2.

　　又∵AE=CE，   ∴∠1=∠3.

　　∴△AEC∽△ACB.

　　∴.　　即AC²=AB?AE

　　(2)PB与⊙O相切.

　　连结OB. ∵PB=PE，　　∴∠PBE=∠PEB.

　　∵∠1=∠2=∠3，　　   ∴∠PEB=∠1+∠3=2∠1.

　　而∠PBE=∠2+∠PBC，　　∴∠PBC=∠1.

　　在△OBC中，OB=OC，　　∴∠OBC=∠OCB.

　　在Rt△BCF中，∠OCB=90°-∠2=90°-∠1，

　　∴∠OBC=90°-∠1.

　　∴∠OBP=∠OBC+∠PBC=∠1+(90°-∠1)=90°.

　　∴PB⊥OB，即PB为⊙O的切线