Question

小丽将一个边长为2a的正方形纸片ABCD折叠，顶点A落到CD边上的点M的位置，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G（如图）．在折叠过程中，小丽发现当点M在CD边上的任意位置时，（点C，D除外），△CMG的周长总是相等的，那么△CMG的周长为

4a

．

Answer 1

分析：设CM=x，DE=y，则DM=2a-x，EM=2a-y，然后利用正方形的性质和折叠可以证明△DEM∽△CMG，利用相似三角形的对应边成比例可以把CG，MG分别用x，y分别表示，△CMG的周长也用x，y表示，然后在Rt△DEM中根据勾股定理可以得到4ax-x²=4ay，进而求出△CMG的周长．

解答：解：设CM=x，DE=y，则DM=2a-x，EM=2a-y，
∵∠EMG=90°，
∴∠DME+∠CMG=90°．
∵∠DME+∠DEM=90°，
∴∠DEM=∠CMG，
又∵∠D=∠C=90°△DEM∽△CMG，
∴

CG

DM

=

CM

DE

=

MG

EM

，即

CG

2a-x

=

x

y

=

MG

2a-y

∴CG=

x(2a-x)

y

，MG=

x(2a-y)

y

△CMG的周长为CM+CG+MG=

4ax-x2

y

在Rt△DEM中，DM²+DE²=EM²
即（2a-x）²+y²=（2a-y）²
整理得4ax-x²=4ay，
∴CM+MG+CG=

4ax-x2

y

=

4ay

y

=4a．
所以△CMG的周长为4a．
故答案为：4a．

点评：本题考查翻折变换及正方形的性质，正方形的有些题目有时用代数的计算证明比用几何方法简单，甚至几何方法不能解决的用代数方法可以解决．本题综合考查了相似三角形的应用和正方形性质的应用．