Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB经过点A（﹣2，0），与y轴的正半轴交于点B，且OA＝2OB．

（1）求直线AB的函数表达式；

（2）点C在直线AB上，且BC＝AB，点E是y轴上的动点，直线EC交x轴于点D，设点E的坐标为（0，m）（m＞2），求点D的坐标（用含m的代数式表示）；

（3）在（2）的条件下，若CE：CD＝1：2，点F是直线AB上的动点，在直线AC上方的平面内是否存在一点G，使以C，G，F，E为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x+1；（2）；（3）（2，4）或（﹣2，2）或

【解析】

（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）求出点C坐标，利用待定系数法求出直线DE的解析式即可解决问题；
（3）求出点E坐标，分两种情形分别讨论求解即可；

（1）∵A（﹣2，0），OA＝2OB，

∴OA＝2，OB＝1，

∴B（0，1），

设直线AB的解析式为y＝kx+b，则有

解得

∴直线AB的解析式为y＝x+1．

（2）∵BC＝AB，A（﹣2，0），B（0，1），

∴C（2，2），

设直线DE的解析式为y＝k′x+b′，则有

解得

∴直线DE的解析式为

令y＝0，得到

∴

（3）如图1中，作CF⊥OD于F．

∵CE：CD＝1：2，CF∥OE，

∴

∵CF＝2，

∴OE＝3．

∴m＝3．

∴E（0，3），D（6，0），

①当EC为菱形ECFG的边时，F（4，3），G（2，4）或F′（0，1），G′（﹣2，2）．

②当EC为菱形EF″CG″的对角线时，F″G″垂直平分线段EC，易知直线DE的解析式为，直线G″F″的解析式为

由，解得

∴F″，

设G″（a，b），则有

∴

∴G″