Question

如图1，在平面直角坐标系中，已知点M的坐标是（3，0），半径为2的⊙M交x轴于E、F两点，过点P（-1，0）作⊙M的切线，切点为点A，过点A作AB⊥x轴于点C，交⊙M于点B．抛物线y=ax²+bx+c经过P、B、M三点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点Q是抛物线上一动点，且位于P、B两点之间，设四边形APQB的面积为S，点Q的横坐标为x，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值和此时点Q的坐标；
（3）如图2，将弧AEB沿弦AB对折后得到弧AE′B，试判断直线AF与弧AE′B的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接AM，则AM⊥PA，又AB⊥x轴，可知∠MAC=∠APM，Rt△APM中，sin∠APM=

AM

PM

=

2

1+3

=

1

2

，故∠APM=30°，在Rt△ACM中，AM=2，∠MAC=∠APM=30°，解直角三角形可求CM，AC，确定A点坐标，根据对称性求B点坐标，抛物线过P、M，设抛物线交点式，将B点坐标代入即可；
（2）如图1，过Q点作QH⊥x轴，垂足为H，根据S_{四边形APQB}=S_△APC+S_△PQH+S梯_形BCHQ表示面积，利用函数的性质求面积最大值及此时Q点的坐标；
（3）相切．如图2，连接AE，证明

AE′B

的圆心为E点，判断∠EAF=90°即可．

解答：解：（1）连接AM，∵PA切⊙M于点A，
∴AM⊥PA，又AB⊥x轴，
∴∠MAC=∠APM，Rt△APM中，PM=PO+OM=1+3=4，AM=2，
∴sin∠APM=

AM

PM

=

1

2

，∠APM=30°，
在Rt△ACM中，AM=2，∠MAC=∠APM=30°，
CM=AM•sin30°=2×

1

2

=1，AC=AM•cos30°=2×

3

2

=

3

，
∴OC=OM-CM=3-1=2，A（2，

3

），
∵A、B两点关于x轴对称，
∴B（2，-

3

），
∵抛物线过P（-1，0）、M（3，0），设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
将B（2，-

3

）代入，得a（2+1）（2-3）=-

3

，解得a=

3

3

，
∴y=

3

3

（x+1）（x-3）=

3

3

x²-

2 3

3

x-

3

；

（2）如图1，过Q点作QH⊥x轴，垂足为H，由（1）得H（x，0），Q（x，

3

3

x²-

2 3

3

x-

3

）
S_{四边形APQB}=S_△APC+S_△PQH+S梯_形BCHQ=

1

2

×PC×AC+

1

2

×PH×QH+

1

2

×（QH+BC）×CH
=

1

2

×3×

3

+

1

2

×（x+1）×（-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

）+

1

2

×（

3

-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

）×（2-x）
=-

3

2

x²+

3

2

x+4

3

，
∵-

3

2

＜0，四边形APQB的面积有最大值，
当x=

1

2

时，四边形APQB的面积最大值为

33 3

8

，此时Q（

1

2

，-

5 3

4

）；

（3）直线AF与弧AE′B相切．如图2，连接AE，
由（1）可知，

AE

度数为60°，根据对称性可知

AE′

度数为60°，△AEE′为等边三角形，
∴

AE′B

的圆心为E点，∠EAF=∠EAC+∠CAF=30°+60°=90°，
∴直线AF与弧AE′B相切．

点评：本题考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、圆心角定理、切线的性质与判定、特殊三角形的判定和性质等知识点．