Question

【题目】如图，AB∥CD，EF交AB于E，交CD于F，EP平分∠AEF，FP平分∠CFE，直线MN经过点P并与AB，CD分别交于点M，N.

(1)如图①，求证：EM+FN＝EF；

(2)如图②，(1)的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，直接写出EM，FN，EF三条线段的数量关系.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)不成立，FN﹣EM＝EF.

【解析】

（1）如图1（见解析），在EF上截取，易证，由三角形全等的性质得，由得，再由邻补角定义可得，则，从而可证，由三角形全等的性质得，则；

（2）如图2（见解析），延长EP交CD于H，由得，结合角平分线的定义得，则，根据三角形全等的性质得；又可证，根据三角形全等的性质得，故.

（1）如图1，在EF上截取

平分，平分

又

由得（两条直线平行，同旁内角互补）

又（邻补角）

在和中，

即；

（2）题（1）的结论不成立

EM，FN，EF三条线段的数量关系是：，理由如下：

如图2延长EP交CD于H

由得（两条直线平行，同旁内角互补）

平分，平分

在和中，

又

（两直线平行，内错角相等）

在和中，

即.