Question

若

1

x

+

1

y

+

1

z

=

1

x+y+z

=1，则x，y，z中，正数的个数为（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、都有可能

Answer 1

考点：分式的等式证明

专题：

分析：由于式子为对称式，不妨设x≥y＞z，因为

1

x

+

1

y

+

1

z

=

1

x+y+z

=1，所以不可能都是正数．可以先确定z＜0，再判断出x+y+z=1，由于x最大，则x大于0，进而判断出y的取值．

解答：解：不妨设x≥y＞z，因为

1

x

+

1

y

+

1

z

=

1

x+y+z

=1，所以不可能都是正数．
∵若假设都是正数，则x＜x+y+z，
则

1

x

＞

1

x+y+z

，同理

1

y

＞

1

x+y+z

，

1

z

＞

1

x+y+z

，
则

1

x

+

1

y

+

1

z

＞

1

x+y+z

，
与

1

x

+

1

y

+

1

z

=

1

x+y+z

，矛盾．
∴可以先确定z＜0．
又∵有x+y+z=1，
∴x＞0，
∴x+y=1-z＞0．
还有xy+yz+xz=xyz，即有xy（1-z）=-z（x+y）＞0，
∴xy＞0，
再根据x+y＞0，
有x＞0，y＞0且z＜0．
故选B．

点评：本题考查了分式等式的证明，巧妙的逻辑推理是解题的关键．