Question

【题目】如图，已知为斜边BC上的高，点E为DA延长线上一点，连结，过点作于点F，交AB、AD于、两点.

（1）证明：

（2）若，，求的长.

（3）若，且，且线段BF与EF的长是关于的一元二次方程的两个实数根，求的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）DE＝8．（3）BC＝5．

【解析】

（1）判断出△BDE∽△NDC即可证明，

（2）先证明△ADC∽△BDA得到，即AD2＝BDDC，再证明△EBD∽△CND，得到，故BDDC＝EDDN，AD2＝EDDN，结合，，故AD＝DN＋AN＝3，得到32＝DE，故可求解；

（3）先证明∠ACM＝∠FBM，由（2）可知∠E＝∠FCB，∠ABE＝∠E，AB＝AE

过点M作MG⊥AN于点G，根据MG∥BD得，由，得到，故，过点A作AH⊥EF于点H，再由AH∥FN，得，设EH＝8a，则FH＝3a，得到BF＝5a，EF＝11a，由根与系数关系列出方程组解得：a＝±，得到BF＝，再证明△ACN∽△BCM，得到，设AC＝3b，则BC＝5b，在Rt△ABC和 Rt△ACM中，求出MC＝b，再根据△ACM∽△FCB得，得到，即可求解BC．

（1）证明： ∵CF⊥BE,AD⊥CD，

∴∠EFN=∠NDC=90°，

又∠ENF=∠CND，

∴∠E=∠DCN，

又∠EDB=∠EDC=90°，

∴△BDE∽△NDC

∴

故

（2）解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，

∴∠ADC＝∠ADB＝90°，

∠DAC＝∠DBA，

∴△ADC∽△BDA，

∴，

∴AD2＝BDDC，

∵CF⊥BE，

∴∠FCB＋∠EBD＝90°，

∵∠E＋∠EBD＝90°，

∴∠E＝∠FCB，

∵∠NDC＝∠EDB＝90°，

∴△EBD∽△CND，

∴，

∴BDDC＝EDDN，

∴AD2＝EDDN，

∵，，

∴AD＝DN＋AN＝3，

∴32＝DE，

∴DE＝8．

（3）∵AM＝AN，

∴∠AMN＝∠ANM

∵∠AMN＋∠ACN＝90°，∠DNC＋∠NCD＝90°，

∴∠ACM＝∠NCD

∵∠BMF＋∠FBM＝90°，∠AMC＋∠ACM＝90°，

∴∠ACM＝∠FBM

由（2）可知∠E＝∠FCB，

∴∠ABE＝∠E，

∴AB＝AE

过点M作MG⊥AN于点G

由MG∥BD得，

∴，

∴，

∴，

过点A作AH⊥EF于点H，

由AH∥FN，

得，

设EH＝8a，则FH＝3a，

∵AE＝AB，

∴BH＝HE＝8a，

∴BF＝5a，EF＝11a，

由根与系数关系得，

解得：a＝±，

∵a＞0，a＝，

∴BF＝，

由∠ACM＝∠MCB，∠DAC＝∠DBA可知△ACN∽△BCM，

∴

设AC＝3b，则BC＝5b

在Rt△ABC中，有AB＝4b．

∴AM＝b．

在Rt△ACM中，有MC＝b

由△ACM∽△FCB得，∴，

∴BC＝5．