Question

已知抛物线y=ax²+（

4

3

+3a）x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．是否存在实数a，使得△ABC为直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：可根据抛物线的解析式表示出A、B、C的坐标，然后分别表示出AB、AC、BC的长，可根据∠BAC=90°，∠BCA=90°，∠ABC=90°三种不同情况用勾股定理求出a的值．

解答：解：依题意，得点C的坐标为（0，4），
设点A、B的坐标分别为（x₁，0），（x₂，0），
由ax²+（

4

3

+3a）x+4=0，
解得x₁=-3，x₂=-

4

3a

，
∴点A、B的坐标分别为（-3，0），（-

4

3a

，0），
∴AB=|-

4

3a

+3|，AC=

AO2+OC2

=5，BC=

CB2+OC2

=

|- 4 3a |2+42

，
∴AB²=|-

4

3a

+3|²=

16

9a2

-

8

a

+9，
AC²=25，BC²=

16

9a2

+16．
（ⅰ）当AB²=AC²+BC²时，∠ACB=90°，
由AB²=AC²+BC²，
得

16

9a2

-

8

a

+9=25+

16

9a2

+16，
解得a=-

1

4

，
∴当a=-

1

4

时，点B的坐标为（

16

3

，0），
AB²=

625

9

，AC²=25，BC²=

400

9

，
于是AB²=AC²+BC²，
∴当a=-

1

4

时，△ABC为直角三角形．
（ⅱ）当AC²=AB²+BC²时，∠ABC=90°，
由AC²=AB²+BC²，
得25=

16

9a2

-

8

a

+9+

16

9a2

+16，
解得a=

4

9

．
当a=

4

9

时，-

4

3a

=-

4

3× 4 9

=-3，点B（-3，0）与点A重合，不合题意．
＜ⅲ＞当BC²=AC²+AB²时，∠BAC=90°，
由BC²=AC²+AB²，
得25+

16

9a2

-

8

a

+9=

16

9a2

+16，
解得a=

4

9

，
不合题意．
综合＜ⅰ＞、＜ⅱ＞、＜ⅲ＞，当a=-

1

4

时，△ABC为直角三角形．

点评：本题考查了二次函数的应用、直角三角形的判定和勾股定理等知识．