Question

【题目】操作：在中，，，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边的中点处，将三角板绕点旋转，三角板的两直角边分别交射线、于、两点．图，，是旋转三角板得到的图形中的种情况．

研究：

三角板绕点旋转，观察线段和之间有什么数量关系，并结合图加以证明；

三角板绕点旋转，是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出为等腰三角形时的长）；若不能，请说明理由；

若将三角板的直角顶点放在斜边上的处，且，和前面一样操作，试问线段和之间有什么数量关系？并结合图加以证明．

Answer 1

【答案】证明见解析；（2）共有四种情况：①当点与点重合，即时，；②，此时；

③当时，此时；④当在的延长线上，且时，此时；．

【解析】

试题（1）连接PC，通过证明△PCD≌△PBE，得出PD=PE；

（2）分为点C与点E重合、CE=、CE=1、E在CB的延长线上四种情况进行说明；

（3）作MH⊥CB，MF⊥AC，构造相似三角形△MDF和△MHE，然后利用对应边成比例，就可以求出MD和ME之间的数量关系．

（1）连接PC，

因为△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点，

∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=∠ACB=45°．

∴∠ACP=∠B=45°．

又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE，

∴∠DPC=∠BPE．

∴△PCD≌△PBE．

∴PD=PE；

（2）△PBE是等腰三角形，

①当PE=PB时，此时点C与点E重合，CE=0；

②当BP=BE时，E在线段BC上，CE=；E在CB的延长线上，CE=；

③当EP=EB时，CE=1；

（3）过点M作MF⊥AC，MH⊥BC

∵∠C=90°，

∴四边形CFMH是矩形即∠FMH=90°，MF=CH．

∵∠DMF+∠DMH=∠DMH+∠EMH=90°，

∴∠DMF=∠EMH，

∵∠MFD=∠MHE=90°，

∴△MFD∽△MHE，