Question

如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，

BA

=

AF

，BF与AD交于E．
（1）求证：AE=BE；
（2）若A，F把半圆三等分，BC=12，求AE的长．

Answer 1

分析：（1）连AC，要证明AE=BE，只要证∠ABE=∠BAE；BC为⊙O的直径，得到∠BAC=90°，而AD⊥BC，可得∠BAD=∠ACB，由

BA

=

AF

，得∠ACB=∠ABF，这样就有∠ABE=∠BAE；
（2）由A，F把半圆三等分，得到∠ACB=∠CBF=30°，而BC=12，得到AB=6，再根据∠BAD=∠ACB，得到∠BAD=30°，所以BD=3，最后在Rt△BDE中，∠CBF=30°，BD=3，即可求出BE．

解答：解：（1）连AC，如图，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
又∵AD⊥BC，
∴∠BAD=∠ACB，
又∵

BA

=

AF

，
∴∠ACB=∠ABF，
∴∠ABE=∠BAE，
∴AE=BE；

（2）∵A，F把半圆三等分，
∴∠ACB=∠CBF=∠ABF=30°，
∴∠BAD=30°，
在Rt△ABC中，BC=12，所以AB=

1

2

BC=6，
在Rt△ABD中，AB=6，所以BD=

1

2

AB=3，
Rt△BDE中，∠CBF=30°，BD=3，
∴DE=

BD

3

=

3

3

=

3

，
∴BE=2

3

，
所以AE=2

3

．

点评：本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了直径所对的圆周角为90度以及含30度的直角三角形三边的关系为1：

3

：2．