Question

关于x的方程x²+2（k+1）x+k-2=0
（1）试说明：不论k取何值时，方程总有实数根；
（2）若方程有一根为x=1，求k的值并求出方程的另一根．

Answer 1

分析：（1）将根的判别式进行配方，得到非负数即可进行判断；
（2）将x=1代入x²+2（k+1）x+k-2=0得到k的值，然后根据根与系数的关系求出另一根．

解答：（1）证明：∵△=[2（k+1）]²-4（k-2）
=4k²+8k+2-4k+8
=4k²+4k+10
=4（k²+k）+10
=4（k²+k+

1

4

-

1

4

）+10
=4（k+

1

2

）²-1+10
=4（k+

1

2

）²+9＞0，
∴不论k取何值时，方程总有实数根；

（2）解：将x=1代入x²+2（k+1）x+k-2=0得，
1+2（k+1）+k-2=0，
解得，k=-

1

3

，
则k-2=-

1

3

-2=-

7

3

；
∴x•1=-

7

3

，
解得k=-

7

3

，
故k=-

1

3

，另一个根为x=-

7

3

．

点评：本题考查了根与系数的关系及根的判别式，一定要熟悉配方法．