Question

如图1，菱形ABOC的对角线OA、BC交于点D，∠BOC=60°，OA=2

3

，E为AC边中点，BE与OA交于点F，点P从点O（包含顶点O）开始沿OA方向以每秒2

3

个单位长度的速度运动，同时，点Q从点C（包含顶点C）出发沿CB方向以每秒1个单位长度的速度运动，当P到达点A时，P，Q同时停止运动，设运动时间为x秒．
（1）若记以P、B、E、Q为顶点的四边形面积为S，分别求出点P在线段OD（不含点D）和在线段AF（不含点F）上时，S关于x的函数关系式，并写出相应的自变量x的取值范围．
（2）若以P、B、E、Q为顶点的四边形是梯形，求x的值．
（3）如图2，若点M、N分别在菱形的边OC、AC上，且∠MBN=60°，∠MBN在∠OBA内部绕着点B旋转的过程中，请你探究OM+AN的值是否发生变化？若不变，求出其值；若发生变化，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据运动时间为x秒，以及P点运动速度，即可得出x的取值范围，再利用P点位置的不同，求出S与x的函数关系式；
（2）根据当PQ∥BE时，以及当EQ∥BP时，当PE∥BQ时，分别利用相似三角形的性质求出即可；
（3）由∠BOC=60°，ABOC是菱形得，△BOC和△ABC是等边三角形，进而求出△OBM≌△CBN，得出答案即可．

解答：解：（1）当点P在OD上时，如图1，x的取值范围为：0≤x＜

1

2

，
过点E作EH⊥BC，则，S=S△PBQ+S△EBQ=

1

2

BQ•PD+

1

2

BQ•EH，
由OA=2

3

，∠BOC=60°，
四边形OBAC是菱形得AC=BC=2，OD=

3

，∠ACD=60°，
在Rt△ECH中，sin∠ECH=

EH

EC

，
∴

3

2

=

EH

1

，
∴EH=

3

2

，
从而有：
 S=

1

2

×(2-x)×(

3

-2

3

x)+

1

2

×(2-x)×

3

2

=

3

x2-

11

4

3

x+

3

2

3

，
当点P在AF上时，如图2，x的取值范围为

2

3

＜x≤1，过点E作EH⊥BC，过点E作EG⊥AD，
则S=S_△ABC-S_△QEC-S_△EPA-S_△BPA，
在Rt△EAG中，sin∠EAG=

EG

EA

，
∴sin30°=

EG

1

，从而有EG=

1

2

，
∴S=

1

2

×2×

3

-

1

2

×x×

3

2

-

1

2

×(2

3

-2

3

x)×

1

2

-

1

2

×(2

3

-2

3

x)×1，
=

5 3

4

x-

3

2

，
综上，S=

3 x2- 11 3 4 x+ 3 3 2 (0≤x＜ 1 2 ) 5 3 4 x- 3 2 ( 2 3 ＜x≤1)

；

（2）能成为梯形，分三种情况：
当PQ∥BE时，如图3，∵菱形ABOC的对角线OA、BC交于点D，∠BOC=60°，
∴△OBC与△ABC都是等边三角形，
∵E为AC边中点，
∴BE平分∠ABC，
∴∠DBE=30°，
∵PQ∥BE，
∴∠PQD=∠DBE=30°，
∴

DP

DQ

=tan30°=

3

3

，
即

3 -2 3 x

1-x

=

3

3

，
∴x=

2

5

，
此时PB不平行QE，∴x=

2

5

时，四边形PBEQ为梯形．
当PE∥BQ时，如图4，P为DA中点，∴OP=

3 3

2

，
即2

3

x=

3 3

2

，
∴x=

3

4

，
此时，BQ=2-x≠

5

4

，
∴x=

3

4

时，四边形PEQB为梯形．
当EQ∥BP时，如图5，△QEH∽△BPD，
∴

HE

DP

=

QH

BD

，
∴

3 2

2 3 x- 3

=

x- 1 2

1

，
∴x=1或x=0，
此时，BQ不平行于PE，∴x=1或x=0时，四边形PEQB为梯形．
综上所述，当x=

2

5

或

3

4

或1或0时，以P，B，E，Q为顶点的四边形是梯形．

（3）OM+AN的值不会发生变化，理由如下：连接BC，
如图6，由∠BOC=60°，ABOC是菱形得，
△BOC和△ABC是等边三角形，
∴BC=BO，∠OBC=60°，∠BOM=∠BCN=60°，
又∵∠MBN=60°，∴∠OBM=∠CBN，
∴△OBM≌△CBN，
∴OM=CN
∴OM+AN=CN+AN=AC=2．

点评：此题主要考查了二次函数与相似三角形以及梯形的综合应用，根据当PQ∥BE时，以及当EQ∥BP时，当PE∥BQ进行分类讨论是解题关键．