Question

如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD经过⊙O上一点C，AD⊥DC，AC平分∠DAB．
（1）求证：直线CD为⊙O的切线；
（2）若AD=2，AC=，求AB的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）要证DC是⊙O的切线，只要连接OC，求证∠OCD=90°即可；
（2）求AB的长，可以先证明△ACD～∽△ABC，得出比例关系．
解答：证明：（1）连OC．
∵AD⊥DC，
∴∠ADC=90°．
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB．
又OC=OA，
∴∠CAB=∠ACO，
∴∠DAC=∠ACO，
∴OC∥AD．
∴∠OCD=180°-∠ADC=90°．
又OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．（4分）

（2）解：连接BC；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
又∠ADC=90°，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
由（1）可知∠DAC=∠CAB，
∴△ACD∽△ABC．
∴而AD=2．
∴，
∴，
故AB的长为．（8分）
点评：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了相似三角形的判定和性质．