Question

【题目】如图，在△ABC中，以AB为斜边作Rt△ABD，使点D落在△ABC内，∠ADB＝90°．

（1）若AB＝AC，把△ABD绕点A逆时针旋转，得到△ACE，连接ED并延长交BC于点P，请动手在图1中画出图形，并直接写出∠BDP与∠BAC的数量关系 ；

（2）求证：BP＝CP；

（3）如图2，若AD＝BD，过点D作直线DE⊥AC于E交BC于F，且AE＝EC，若BF＝3，AC＝，则BD＝ （请直接写出结果）．

Answer 1

【答案】（1）如图示，四边形ABCE为所求.

（2）证明见详解.

（3）

【解析】

（1）作图，由旋转得到，，所以，利用，，则可以求出.

（2）在ED上截取EQ=PD，利用△BDP≌△CEQ，∠DBP=∠QCE，即可得到BP=CP.

（3）连接AF、CD．利用勾股定理可以求出， ，的三边关系，然后利用等量代换则可求出．

解

（1） 如图示，四边形ABCE为所求.

∵

∴

∵由旋转得到，

∴

∴

∴

（2）如图2，

在ED上截取EQ=PD，
∵∠ADB=90°，
∴∠BDP+∠ADE=90°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∵把△ABD绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ACE，
∴∠AEC=∠ADB=90°
∵∠AED+∠PEC=90°，
∴∠BDP=∠PEC，
在△BDP和△CEQ中，
，
∴△BDP≌△CEQ，
∴BP=CQ，∠DBP=∠QCE，
∵∠CPE=∠BDP+∠DBP，∠PQC=∠PEC+∠QCE，
∴∠EPC=∠PQC，
∴PC=CQ，
∴BP=CP

（3）

如图3，连接AF、CD．
∵EF⊥AC，且AE=EC，
∴FA=FC，∠FAC=∠FCA，
∵EF⊥AC，且AE=EC，
∴∠DAC=∠DCA，DA=DC，
∵AD=BD，
∴BD=DC，
∴∠DBC=∠DCB，
∵∠FAC=∠FCA，∠DAC=∠DCA，
∴∠DAF=∠DCB，
∴∠DAF=∠DBC，
∴∠AFB=∠ADB=90°，
在中，DA=DB，
∴，
在中，，
∵
∴

在中，FC=AF，
∴

∴

即：

∴．