Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AB=10、点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，连接BD，
（1）求AC的长；
（2）当OA为多少时，BD与⊙O相切？并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由角A的正弦值即能求得该角的余弦值，又有AB值从而得到AC值．
（2）按照其意思连接OD，DE求得OA．
解答：解：（1）BC=AB•sinA=10×=6，（1分）
∴AC==8、（2分）

（2）OA=（3分）
理由：连接OD，DE、（4分）
如果BD与⊙O相切，则OD⊥BD，∴∠ADO+∠BDC=90°（5分）
∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∴∠A+∠BDC=90°
∵∠C=90°，∴∠BDC+∠DBC=90°，∴∠A=∠DBC
∵∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，（6分）
∴=，解得CD=
∴AD=8-=（7分）
∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°=∠C（8分）
∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴=，解得AE=（9分）
∴OA=．（10分）
点评：本题是一个具有一定逻辑性的综合题，由∠A的正弦值求得余弦值，即得到AC值，连接OD，DE；由三角形相似，利用相似三角形的性质即可求得AD的值．