题目内容
在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．
（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S；
（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？
（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
解：（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．
∴ △AMN ∽ △ABC．
∴ 
，即
．
∴ AN＝
x．
∴ 
=
．（0＜
＜4）
（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =
MN．
在Rt△ABC中，BC ＝
=5．
由（1）知 △AMN ∽ △ABC．
∴ 
，即
．
∴ 
，
∴ 
．
过M点作MQ⊥BC 于Q，则
．
在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，
∴ △BMQ∽△BCA．
∴ 
．
∴ 
，
．
∴ x＝
．
∴ 当x＝时，⊙O与直线BC相切．
（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．
∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．
∴ △AMO ∽ △ABP．
∴ 
． AM＝MB＝2．
故以下分两种情况讨论：
① 当0＜≤2时，
．
∴ 当＝2时，
② 当2＜＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．
∵ 四边形AMPN是矩形，
∴ PN∥AM，PN＝AM＝x．又∵ MN∥BC，∴ 四边形MBFN是平行四边形．
∴ FN＝BM＝4－x．
∴ 
．
又△PEF ∽ △ACB．
∴ 
．
∴ 
．
＝
．
当2＜＜4时，
．
∴ 当
时，满足2＜＜4，
．
综上所述，当时，
值最大，最大值是2．
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