Question

在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=5，AC=6，过D点作DE∥AC交BC的延长线于点E。

（1）求△BDE的周长；
（2）点P为线段BC上的点，连接PO并延长交AD于点Q，求证：BP=DQ。

Answer 1

解：（1）因为四边形ABCD为菱形，
所以BE∥AD，AC∥DE，
故四边形ACED为平行四边形，
则有AB=AD=BC=CE=5，
所以BE=BC+CE=10，AC=DE=6，
又，AB=5，OA垂直于OB，
所以在Rt△AOB中有AB²=OB²+OA²，
所以，故BD=8，
故△DBE的周长为BD+DE+BE=8+6+10=24；
（2）因为四边形ABCD为菱形，
所以OB=OD，BE∥AD，
则∠DBC=∠ADB，
又∠BOP=∠DOQ，
所以△BOP≌△DOQ，
故有BP=DQ。