Question

已知，如图，点A的坐标为（2，0），⊙A交x轴于点B和C，交y轴于点D（0，4），过点D的直线与x轴交于点P，且tan∠APD=．
（1）求证：PD是⊙A的切线；
（2）判断在直线PD上是否存在点M，使得S_△MOD=2S_△AOD？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出OA、OD，求出tan∠ADO=tan∠APD=，得出∠ADO=∠APD，推出∠DAO+∠APD=90°，求出∠PDA=90°即可；
（2）求出AD、PD，AP，求出P的坐标，设直线PD的解析式是：y=kx+4，把P的坐标代入求出直线的解析式，设M的坐标是（x，x+4），当M在y轴的左边时，过M作MN⊥OD于N，根据S_△MOD=2S_△AOD，推出×4×（-x）=2××2×4，求出x，求出此时M坐标，当M点在y轴的右边时，同法可求M的横坐标是4，代入求出即可．
解答：（1）证明：∵A（2，0）D（0，4），
∴AO=2，OD=4，
∴在Rt△ADO中，tan∠ADO===，
∵tan∠APD=，
∴∠ADO=∠APD，
∵∠AOD=90°，
∴∠ADO+∠DAO=90°，
∴∠DAO+∠APD=90°，
∴∠PDA=180°-90°=90°，
∴AD⊥PD，
∵AD是⊙A的半径，
∴PD是⊙A的切线．

（2）解：在△ADO中，OA=2，OD=4，由勾股定理得：AD=2，
在Rt△PDA中，tan∠APD==，
即PD=4，
由勾股定理得：AP==10，
∵OA=2，
∴OP=8，
即P（-8，0），
∵D（0，4），
∴设直线PD的解析式是：y=kx+4，
把P的坐标代入得：0=-8k+4，
解得：k=，
∴直线PD的解析式是y=x+4，
假如存在M点，使得S_△MOD=2S_△AOD，
设M的坐标是（x，x+4），
如图：
当M在y轴的左边时，过M作MN⊥OD于N，
∵S_△MOD=2S_△AOD，
∴×4×（-x）=2××2×4，
解得：x=-4，
y=x+4=2，
即此时M坐标是（-4，2），
当M点在y轴的右边时，同法可求M的横坐标是4，代入y=x+4得y=6，
此时M的坐标是（4，6），
即在直线PD上存在点M，使得S_△MOD=2S_△AOD，点M的坐标是（-4，2）或（4，6）．
点评：本题考查了切线的判定，用待定系数法求出一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积等知识点的应用，主要考查学生的推理和计算的能力，题目比较典型，综合性比较强，是一道比较好的题目．注意：要分类讨论啊．