题目内容
如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，过A点作AF∥BC，且AF=BD，连结CF交AD于点E．（1）求证：AE=ED；
（2）若AB=AC，试判断四边形AFBD形状，并说明理由．
分析：（1）证明四边形ACDF是平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分可得AE=ED；
（2）四边形AFBD是矩形，根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，即∠ADB=90°，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得结论．
（2）四边形AFBD是矩形，根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，即∠ADB=90°，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得结论．
解答：
证明：（1）连结DF．
∵D是BC边上的中点，
∴BD=DC，
∵AF∥BC，且AF=BD，
∴AF∥DC，且AF=DC，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∴AE=ED；
（2）四边形AFBD是矩形，
理由如下：
由（1）得，四边形ACDF是平行四边形，
∵AB=AC，BD=DC．
∴AD⊥BC，即∠ADB=90°．
∴平行四边形ACDF是矩形．
证明：（1）连结DF．∵D是BC边上的中点，
∴BD=DC，
∵AF∥BC，且AF=BD，
∴AF∥DC，且AF=DC，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∴AE=ED；
（2）四边形AFBD是矩形，
理由如下：
由（1）得，四边形ACDF是平行四边形，
∵AB=AC，BD=DC．
∴AD⊥BC，即∠ADB=90°．
∴平行四边形ACDF是矩形．
点评：此题主要考查了平行四边形的性质和判定，以及矩形的判定，关键是掌握平行四边形的判定定理和矩形的判定定理．
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