题目内容

如图：已知在△ABC中，∠C=25°，点D在边BC上，且∠DAC=90°，AB= $数学公式$ DC．求∠BAC的度数．

解：取线段CD的中点E，连接AE，
∵∠DAC=90°，
∴AE=EC=DE= $\text{[math]}$ DC，（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴∠EAC=∠C，
∵∠C=25°，
∴∠AEB=∠EAC+∠C=50°，
∵AB= $\text{[math]}$ DC，
∴AB=AE（等量代换），
∴∠B=∠AEB=50°，
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
即50°+25°+∠BAC=180°，
∴∠BAC=105°．
分析：取线段CD的中点E，连接AE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AE=EC=DE= $\text{[math]}$ DC，再根据等边对等角的性质可得∠EAC=∠C，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AEB，再求出AB=AE，根据等边对等角的性质求出∠B=∠AEB，然后利用三角形的内角和等于180°列式进行计算即可得解．
点评：本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．