Question

如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，点P是边BC（含端点）上的动点，过P作PR⊥AB，垂足为点R，过R作RS⊥BC，垂足为点S．在线段RS上，存在一点T，若以PT为直角边作等腰直角三角形PTF，其顶点F恰好落在AC上．
（1）求证：△PRS∽△ABC；
（2）探索并证明线段TS与线段CP的数量关系；
（3）假设BC=3，CP=x，等腰直角三角形PTF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求x为何值时，y有最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先由PR⊥BC，RS是∠PRB的平分线，易证△ABC是等腰直角三角形，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得：△PRS∽△ABC；
（2）根据AAS即可证得△PTS≌△FPC，又由全等三角形的对应边相等，即可证得TS=CP；
（3）根据题意分别求得：BS，PS，ST，CP的值，又由勾股定理即可求得等腰Rt△PRB的面积y=（x-）²+，然后根据函数的性质和自变量的范围求出y的最大和最小值．
解答：（1）证明：∵在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，
∴∠A=∠B=45°．
∵PR⊥BC，
∴∠PRS=∠BRS=45°，
∴∠RPS=45°
∴∠PRS=45°=∠B，∠SPR=∠A，
∴△PRS∽△ABC；

（2）解：线段TS与线段CP的数量关系是相等，即TS=PC．理由如下：
∵△PTF是等腰直角三角形，∠FPT=90°，
∴PT=PF．
又∵∠C=∠PST=90°，
∴∠TPS=∠PFC，∠PTS=∠FPC（同角的余角相等）．
∵在△PTS与△FPC中，
∴，
∴△PTS≌△FPC（ASA），
∴TS=PC；

（3）解：由题意，RS是等腰Rt△PRB的底边PB上的高，
∴PS=BS，
∴BS+PS+PC=3，∴PS==．
由（2）知：TS=PC=x，
∴等腰Rt△PTF的面积y=PT•PF=PT²=PS²+ST²=×[（）²+x²]=x²-x+=（x-）²+．
根据二次函数的性质，当x=时，y_最小值=．
如图2，当点T运动与R重合时，PC=TS为最大．
易证等腰Rt△PCF≌等腰Rt△PSR≌等腰Rt△BSR，
∴PC=BC=1．
y_最大值=1．
点评：此题考查了全等三角形与相似三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识的综合应用．题目难度适中，注意数形结合思想的应用．