Question

如图（1），在直角梯形OABC中，BC∥OA，∠OCB=90°，OA=6，AB=5，cos∠OAB=．
（1）写出顶点A、B、C的坐标；
（2）如图（2），点P为AB边上的动点（P与A、B不重合），PM⊥OA，PN⊥OC，垂足分别为M，N．设PM=x，四边形OMPN的面积为y．
①求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②是否存在一点P，使得四边形OMPN的面积恰好等于梯形OABC的面积的一半？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）由图得，A（6，0），B（3，4），C（0，4），
做BD⊥OA，所以，BD=OC，BC=OD；
由OA=6，AB=5，cos∠OAB=得，
AD=3，BD=4，
即，BC=3，OC=4；
故坐标为：A（6，0），B（3，4），C（0，4）；

（2）①∵设PM=x，由图得，0＜x＜4，
则，AM=x，
所以，y=（6-x）x，
整理得，y=-+6x；
故y与x之间的函数关系式是：y=-+6x（0＜x＜4）；
②由-+6x=×[（3+6）×4÷2]整理得，
x²-8x+12=0，
解得，x₁=2，x₂=6（舍去），
OM=6-2×=，
故点P的坐标为（，2）．
分析：（1）点A的坐标，由图可直接得出；求出BC、OC的长，即可得到点B、C的坐标；
（2）①PM=x，由图得，0＜x＜4，由cos∠OAB=，得到MA=x，由矩形的面积，可求出y与x之间的函数关系式；
②根据S_矩形OMPN=S_梯形OABC可得到一点；
点评：本题考查了直角三角形的性质、直角梯形和矩形的相关知识以及动点函数问题，根据题目中的等量关系列出二次函数，注意最后取值必须使题目有意义；此题是一个大综合题，难度较大．