Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，∠ACB=90°，OA= ，抛物线y=ax2﹣ax﹣a经过点B（2， ），与y轴交于点D．

（1）求抛物线的表达式；
（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由；
（3）延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED∥AC的理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：方法一：把点B的坐标代入抛物线的表达式，得 =a×22﹣2a﹣a，

解得a= ，

∴抛物线的表达式为y= x2﹣ x﹣

（2）

解：方法一：连接CD，过点B作BF⊥x轴于点F，则∠BCF+∠CBF=90°

∵∠ACB=90°，

∴∠ACO+∠BCF=90°，

∴∠ACO=∠CBF，

∵∠AOC=∠CFB=90°，

∴△AOC∽△CFB，

∴ = ，

设OC=m，则CF=2﹣m，则有 = ，

解得m1=m2=1，

∴OC=CF=1，

当x=0时，y=﹣ ，

∴OD= ，

∴BF=OD，

∵∠DOC=∠BFC=90°，

∴△OCD≌△FCB，

∴DC=CB，∠OCD=∠FCB，

∴点B、C、D在同一直线上，

∴点B与点D关于直线AC对称，

∴点B关于直线AC的对称点在抛物线上

方法二：

设C点坐标为（t，0），B点关于直线AC的对称点为B′，

∵∠ACB=90°，

∴AC⊥BC，

∴KAC×KBC=﹣1，

∵OA= ，∴A（0， ），B（2， ），C（t，0），

∴ =﹣1，

∴t（t﹣2）=﹣1，

∴t=1，C（1，0），

∴ ， ，

∴B′x=0，B′Y=﹣ ，

∴B关于直线AC的对称点即为点D

（3）

解：方法一：

过点E作EG⊥y轴于点G，设直线AB的表达式为y=kx+b，则 ，

解得k=﹣ ，

∴y=﹣ x+ ，代入抛物线的表达式﹣ x+ = x2﹣ x﹣ ．

解得x=2或x=﹣2，

当x=﹣2时y=﹣ x+ =﹣ ×（﹣2）+ = ，

∴点E的坐标为（﹣2， ），

∵tan∠EDG= = = ，

∴∠EDG=30°

∵tan∠OAC= = = ，

∴∠OAC=30°，

∴∠OAC=∠EDG，

∴ED∥AC

方法二：

∵A（0， ），B（2， ），

∴ ，

解得：x1=2（舍），x2=﹣2，

∴E（﹣2， ），D（0，﹣ ），A（0， ），C（1，0），

∴KED= ，KAC= ，

∴KED=KAC，

∴ED∥AC．

【解析】方法一：（1）把点B的坐标代入抛物线的表达式即可求得．（2）通过△AOC∽△CFB求得OC的值，通过△OCD≌△FCB得出DC=CB，∠OCD=∠FCB，然后得出结论．（3）设直线AB的表达式为y=kx+b，求得与抛物线的交点E的坐标，然后通过解三角函数求得结果．
方法二：（1）略．（2）利用垂直公式及中点公式求出点B关于直线AC的对称点B’坐标，并得出B’与点D重合．（3）分别求出点A，C，E，D坐标，并证明直线ED与AC斜率相等．