Question

如图，将边长为

3

的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转60°后得到正方形AB′C′D′，则图中阴影部分面积为______平方单位．

Answer 1

连接AC′，延长CD交AC′于点E，作EF⊥C′B′，连接AG，
∴∠EFG=∠EFC′=90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠CDA=90°．∠AC′B′=45°．
∵∠DAD′=60°，
∴∠B′AG=30°，
∴∠DAE=15°．
∵正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转60°后得到正方形AB′C′D′，
∴正方形ABCD≌AB′C′D′，
∴AD=AB′=C′B′，∠CB′A=∠CDA=90°．
在Rt△GB′A和Rt△GDA中

AG=AG AB′=AD

，
∴Rt△GB′A≌Rt△GDA（HL），
∴∠GAB′=∠GAD．GB′=GD．
∵∠GAB′+∠GAD=30°，
∴∠GAB′=∠GAD=15°，
∴∠GAD=∠DAE．
在△GDA和△EDA中

∠ADG=∠ADE AD=AD ∠GAD=∠DAE

，
∴△GDA≌△EDA（ASA），
∴GD=DE．
∵∠EFC′=90°，．∠AC′B′=45°，∠FGD=30°
∴∠FEC′=45°，GE=2EF．
∴∠FEC′=，．∠EC′F，
∴C′F=EF．
设GB′=GD=DE=EF=x，在Rt△EFG中，与偶勾股定理，得
FG=

3

x，
∴x+

3

x+x=

3

，
解得：x=2

3

-3，
∴S_△ADG=

3 (2 3 -3)

2

=

6-3 3

2

，
∴阴影部分的面积为：

6-3 3

2

×2=6-3

3

．
故答案为：6-3

3

．