题目内容

如图，在△ABC中，AB=BC=2，高BE=
3
，在BC边的延长线上取一点D，使CD=3．
（1）现有一动点P由A沿AB移动，设AP=t，S△PCD=S，求S与t之间的关系式及自变量t的取值范围．
（2）在（1）的条件下，当t=
1
3
时，过点C作CH⊥PD于H，设K=7CH：9PD．求证：关于x的二次函数y=-x2-(10k-
3
)x+2k的图象与x轴的两个交点关于原点对称．
（3）在（1）的条件下，是否存在正实数t，使PD边上的高CH=
1
2
CD？如果存在，请求出t的值；如果精英家教网不存在，请说明理由．
分析：（1）要求s与t的函数关系式，只要表示出DC边上的高就可以了，而CD边上的高可以用三角函数表述出来．因为很容易证明△ABC是正三角形．AP的取值范围是0≤PD≤2．
（2）要求证二次函数与x轴的交点关于原点对称，只要求出抛物线与x轴的交点坐标，要求交点坐标就要求出k值，要求k值就要求出CH、PD的值，可以利用三角形的面积公式和勾股定理求出，从而的解．
（3）当CH=1.5时，利用勾股定理建立方程，从而求出t的值，确定t的值满足不满足题意要求．
解答：精英家教网（1）解：过点P作PF⊥BD于点F．
∵AB=BC=2，高BE=
3
，
∴由锐角三角函数，得∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠BPF=30°．
∵AP=t，
∴PB=2-t，
∴PF=
3
2
（2-t），
∴S=
1
2
×3×
3
2
（2-t），
=-
3
3
4
t+
3
3
2
（0≤t≤2）；

（2）证明：∵t=
1
3
，
∴PB=2-
1
3
=
5
3
，
∴PB=
5
6
，PF=
5
3
6
，CF=
7
6
，
∴DF=3+
7
6
=
25
6
，
在Rt△PFD中由勾股定理得
DP=
(  
5
6
3
)2 +(
25
6
)2   
，
=
10
7
6
，
在△PCD中
1
2
×
5
3
6
×3=
1
2
×
10
7
6
CH，
解得CH=
3
21
14
，
K=
3
21
14
×7
10
7
6
×9
=
3
10
，
∴y=-x2-(10×
3
10
-
3
)x +2×
3
10
，
y=-x2+
3
5
，
当y=0时，解得x=±
5
3
5
，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标分别为：(
5
3
5
，0)或(-
5
3
5 
，0)，
∴原二次函数的图象与x轴的交点关于原点对称；

（3）解：不存在正实数P．
∵CH⊥DP，且CH=
1
2
CD
∴∠D=30°
∴DP=2PF=（2-t）
3
，DF=2-
2-t
2
+3=
t+8
2

由勾股定理得
[(2-t)
3
]2=(
t+8
2
)2+(
(2-t)
3
2
)2
解得t1=7不符合题意应舍去．
t2=-
1
2
不符合题意应舍去．
∴当CH=1.5时，求出的t的值不满足题意要求．
点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了求二次函数的解析式，轴对称、三角函数值、勾股定理以及问题的存在性等多个知识点，且计算量比较大，对学生的计算能力有较高的要求．
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75
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（　　）
A、
1
2
B、（
2
2
）7
C、
1
4
D、
1
8
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16
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