Question

如图，已知△ABC三边长相等，和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h₁、h₂、h₃，△ABC的高为h，在图①中，点P是边BC的中点，由得，AB·h₁+AC·h₂=BC·h，可得h₁+h₂=h，又因为h₃=0，所以：h₁+h₂+h₃=h。图②～⑤中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外。

（1）请探究：图②～⑤中，h₁、h₂、h₃、h之间的关系；（直接写出结论）
（2）说明图③所得结论为什么是正确的；
（3）说明图⑤所得结论为什么是正确的。

Answer 1

解：（1）②h_l+h₂+h₃=h；③h₁h₂+h₃=h；④h₁+h₂+h₃=h；⑤h₁+h₂h₃=h。
（2）图②中，h₁+h₂+h₃=h，连接AP，则
则AB×h₁+AC×h₂=B×Ch
又h₃=0，AB=AC=BC，
∴h₁+h₂+h₃=h。
（3）图⑤中，h₁+h₂+h₃=h
连接PA、PB、PC，
则S_△APB+S_△APC=S_△ABC+S_△BPC
则AB×h₁+AC×h₂=BC×h+BC×h₃
又AB=AC=BC，
∴h₁+h₂=h+h₃
∴h₁+h₂-h₃=h。