Question

请阅读下面材料：

若， 是抛物线（a ≠ 0）上不同的两点，证明直线 为此抛物线的对称轴.

有一种方法证明如下：

① ②

证明：∵ ，是抛物线（a ≠ 0）上不同的两点，        

      ∴         且 ≠. 

  ①-②得 .

   ∴ .

 ∴ .

 又∵ 抛物线（a ≠ 0）的对称轴为，

 ∴ 直线为此抛物线的对称轴.

 （1）反之，如果， 是抛物线（a ≠ 0）上不同的

两点，直线 为该抛物线的对称轴，那么自变量取，时函数值相等吗？写出你的猜想，并参考上述方法写出证明过程；

  （2）利用以上结论解答下面问题：

已知二次函数 当x = 4 时的函数值与x = 2007 时的函数值相等，求x = 2012时的函数值.

Answer 1

解：（1）结论：自变量取，时函数值相等．

            证明：∵ ，为抛物线上不同的两点，

① ②

               由题意得         且≠．

           ①-②，得 .

                ∵ 直线是抛物线（a ≠ 0）的对称轴，

                ∴ .

                ∴ .

             ∴ ，即

（阅卷说明：其他代数证明方法相应给分；直接利用抛物线的对称性而

没有用代数方法进行证明的不给分）

  （2）∵ 二次函数当x = 4 时的函数值与x = 2007 时的函数值相等，

       ∴ 由阅读材料可知二次函数的对称轴为直线.

       ∴ ，.

       ∴ 二次函数的解析式为.

       ∵ ，

由（1）知，当x = 2012的函数值与时的函数值相等.

∵ 当x =时的函数值为，

       ∴ 当x = 2012 时的函数值为2011.