Question

如图所示，菱形ABCD的边长为6cm，∠DAB=60°，点M是边AD上一点，DM=2cm，点E、F分别从A、C同时出发，以1cm/s的速度分别沿边AB、CB向点B运动，EM、CD的延长线相交于G，GF交AD于O．设运动时间为x（s），△CGF的面积为y（cm²）．
（1）当x为何值时，GD的长度是2cm？
（2）求y与x之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻，使得线段GF把菱形ABCD分成的上、下两部分的面积之比为1：5？若存在，求出此时x的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）易证△DMG∽△AME，故有

DG

AE

=

DM

AM

=

1

2

，故有当x=4s时，GD的长度是2cm．
（2）过F作FH⊥DC于H点，则有y=

1

2

GC•FH，故利用相似三角形的性质和正弦的概念求得GC和FH的值即可，
（3）过D作DP⊥BC于P，由菱形的高PD=6×sin60°=3

3

，求得菱形的面积，所以当S_梯形ODCF=

1

6

S_菱形时有使得线段GF把菱形ABCD分成的上、下两部分的面积之比为1：5，利用相似三角形的性质，用x表示出梯形的上下底OD，CF，代入面积公式中建立方程而求解．

解答：解：（1）∵DC∥AB，
∴△DMG∽△AME，
∴

DG

AE

=

DM

AM

，
∴AE=

AM•DG

DM

=4，
即当x=4s时，GD的长度是2cm．

（2）∵△DMG∽△AME，
∴

DG

AE

=

DM

AM

，
∴DG=

DM•AE

AM

=

2x

4

=

x

2

，
∴GC=6+

x

2

，
过F作FH⊥DC于H点，
∴FH=CF•sin60°=

3

2

x，
∴y=

1

2

GC•FH，
=

1

2

(6+

x

2

)•

3

2

x=

3

8

x2+

3 3

2

x．

（3）设运动x（s）时，GF分菱形上、下两部分的面积比为1：5，
此时△OGD∽△FGC，
∴

GD

GC

=

OD

FC

，
∴OD=

GD•FC

GC

=

x 2 •x

6+ x 2

=

x2

x+12

，
过D作DP⊥BC于P，则PD=6×sin60°=3

3

，
由题意知，

1

2

(

x2

x+12

+x)•3

3

=

1

6

×6×3

3

，
即

x2

x+12

+x=2，
解得：x1=

73 -5

2

x2=

- 73 -5

2

（舍去），
经检验：x=

73 -5

2

是原方程的解．
∴当x=

73 -5

2

时，GF分菱形上、下两部分的面积比为1：5．

点评：本题利用了菱形和梯形的性质，锐角三角函数的概念，相似三角形的判定和性质，分式方程的解法，